Какова сумма всех x, которые не могут быть корнями уравнения f(x)=0 в кубическом многочлене f(x)=ax^{3} +bx^{2} +cx+d

Чтобы найти сумму всех \(x\), которые не могут быть корнями уравнения \(f(x) = 0\) в кубическом многочлене \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), нам нужно проанализировать значения \(f(x)\) при заданных точках и использовать информацию о коэффициентах многочлена.

Дано, что \(f(-1) = 12\), \(f(0) = 6\) и \(f(1) = 2\).

Для начала, посмотрим на значение \(f(0)\). Мы можем заметить, что при \(x = 0\) коэффициент \(d\) является результатом \(f(0)\). Таким образом, мы знаем, что \(d = 6\).

Далее, давайте рассмотрим значение \(f(1)\). Подставляя \(x = 1\) в уравнение \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 2\), мы получаем уравнение \(a + b + c + d = 2\). Подставляя также известное значение \(d = 6\), мы получаем уравнение \(a + b + c = -4\). Это даст нам первое информационное соотношение между коэффициентами.

Теперь рассмотрим значение \(f(-1)\). Подставляя \(x = -1\) в уравнение \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 12\), мы получаем уравнение \(-a + b - c + d = 12\). Подставляя известное значение \(d = 6\), мы получаем уравнение \(-a + b - c = 6\). Это даст нам второе информационное соотношение между коэффициентами.

У нас есть два информационных соотношения:

\[
\begin{align*}
a + b + c &= -4 \\
-a + b - c &= 6
\end{align*}
\]

Мы можем решить эти уравнения методом сложения и вычесть их:

\[
\begin{align*}
2b &= 2 \\
b &= 1
\end{align*}
\]

Теперь, подставив \(b = 1\) в первое информационное соотношение, мы можем найти \(a\):

\[
\begin{align*}
a + 1 + c &= -4 \\
a + c &= -5
\end{align*}
\]

Таким образом, \(a = -5 - c\). Мы можем выбрать любое значение для \(c\) и соответствующее значение \(a\) будет определено. Это означает, что существует бесконечно много значений для \(a\) и \(c\) таких, что \(a + c = -5\).

Теперь давайте рассмотрим проблему суммы всех \(x\), которые не могут быть корнями уравнения \(f(x) = 0\). В данном случае, если \(f(x)\) имеет корень, то это означает, что существует такое значение \(x\), при котором \(f(x) = 0\). Обратно, значения \(x\), при которых \(f(x) \neq 0\), не являются корнями уравнения.

Таким образом, нам нужно найти значения \(x\), при которых \(f(x) \neq 0\). Используя полученные значения для коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\), мы можем записать уравнение:

\[
f(x) = (-5 - c)x^3 + x^2 + cx + 6
\]

Назовем этот новый многочлен \(g(x)\):

\[
g(x) = (-5 - c)x^3 + x^2 + cx + 6
\]

Теперь наша задача - найти все значения \(x\), при которых \(g(x) \neq 0\) и найти их сумму.

Понимая, что \(g(x) \neq 0\) означает, что \(x\) не является корнем \(g(x)\), мы можем использовать теорему Ферма, которая утверждает, что если \(x - a\) является множителем для полинома \(g(x)\), то \(a\) будет корнем полинома.

Мы можем применить эту теорему и попробовать найти значения \(x\), при которых \(g(x)\) не имеет корней.

Давайте подставим \(x = 0\) в \(g(x)\):

\[
g(0) = (-5 - c) \cdot 0^3 + 0^2 + c \cdot 0 + 6 = 6
\]

Мы видим, что при \(x = 0\) значение \(g(x)\) не равно нулю (\(g(0) \neq 0\)). Значит, \(0\) не является корнем \(g(x)\).

Теперь подставим \(x = 1\) в \(g(x)\):

\[
g(1) = (-5 - c) \cdot 1^3 + 1^2 + c \cdot 1 + 6 = c+2
\]

Если \(c\) не равно \(-2\), то \(1\) не является корнем \(g(x)\) (\(g(1) \neq 0\)). Таким образом, сумма всех значений \(x\), которые не могут быть корнями уравнения \(f(x) = 0\), будет равна \(0 + (-2) = -2\).

Итак, сумма всех \(x\), которые не могут быть корнями уравнения \(f(x) = 0\), равна \(-2\).