Какова сумма всех натуральных чисел, которые меньше или равны 200 и дают остаток при делении

на 3 или на 5?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу суммы арифметической прогрессии. Давайте разобьем задачу на две части и найдем суммы натуральных чисел, которые дают остаток при делении на 3 и на 5.

Чтобы найти сумму натуральных чисел, делящихся на 3, мы можем воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии, где первый член равен 3, последний член равен 198 (так как он меньше или равен 200), а шаг (разность между соседними членами) равен 3:

\[ S_1 = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} \]
\[ S_1 = \frac{66 \cdot (3 + 198)}{2} \]
\[ S_1 = \frac{66 \cdot 201}{2} \]
\[ S_1 = 66 \cdot 201 \]
\[ S_1 = 13366 \]

Теперь рассмотрим натуральные числа, дающие остаток при делении на 5. Также используем формулу суммы арифметической прогрессии. Первый член равен 5, последний член равен 195 (так как он меньше или равен 200), а шаг равен 5:

\[ S_2 = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} \]
\[ S_2 = \frac{39 \cdot (5 + 195)}{2} \]
\[ S_2 = \frac{39 \cdot 200}{2} \]
\[ S_2 = 39 \cdot 200 \]
\[ S_2 = 7800 \]

Теперь мы можем сложить обе суммы, чтобы найти сумму всех натуральных чисел, которые дают остаток при делении на 3 или на 5:

\[ S_{\text{общая}} = S_1 + S_2 \]
\[ S_{\text{общая}} = 13366 + 7800 \]
\[ S_{\text{общая}} = 21166 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, которые меньше или равны 200 и дают остаток при делении на 3 или на 5, равна 21166.