Какова сумма всех целых значений x, которые удовлетворяют неравенству 2^x-4-4/1/6^x-2-1 больше или равно?

Для решения данной задачи, сначала мы упростим выражение в неравенстве. Выражение, которое нам дано, выглядит следующим образом: \(2^x-4-(\frac{4}{1/6^x}-2)-1\).

Давайте последовательно проведем упрощение этого выражения, чтобы получить более простую форму.

1. Перед тем как продолжить, я замечу, что в задаче есть ошибка в записи. После \(\frac{4}{1/6^x}\), открывающаяся скобка \(-2\) - это не вполне понятно, что означает. Предлагаю переписать неравенство более ясно:

\(2^x - 4 - \frac{4}{\frac{1}{6^x} - 2} - 1 \geq 0\)

2. Для начала, преобразуем дробь в знаменателе, чтобы избавиться от двойной дроби. Сделаем это следующим образом:

\(\frac{4}{\frac{1}{6^x} - 2} = \frac{4}{\frac{1 - 2 \cdot 6^x}{6^x}} = \frac{4 \cdot 6^x}{1 - 2 \cdot 6^x}\)

3. Теперь мы можем объединить все выражения в одно:

\(2^x - 4 - \frac{4 \cdot 6^x}{1 - 2 \cdot 6^x} - 1 \geq 0\)

4. Давайте произведем операции над числителем и знаменателем, чтобы объединить дробь с остальными членами:

\(\frac{2^x(1 - 2 \cdot 6^x) - 4(1 - 2 \cdot 6^x) - 4 \cdot 6^x}{1 - 2 \cdot 6^x} \geq 0\)

5. Теперь мы можем сократить \(1 - 2 \cdot 6^x\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{(2^x - 4 - 4 \cdot 6^x)(1 - 2 \cdot 6^x)}{1 - 2 \cdot 6^x} \geq 0\)

6. Обратите внимание, что \(1 - 2 \cdot 6^x\) является знаменателем, и неравенство перестает быть определенным, когда \(1 - 2 \cdot 6^x = 0\). Решим это уравнение:

\(1 - 2 \cdot 6^x = 0\)

Раскроем скобки и решим уравнение:

\(1 - 12^x = 0\)

Теперь мы можем определить значения \(x\), при которых неравенство неопределено.

Выразим \(x\):

\(12^x = 1\)

Возведем обе части в логарифм по основанию 12:

\(\log_{12}(12^x) = \log_{12}(1)\)

Применяем свойство логарифма \(\log_a(a^b) = b\):

\(x = \log_{12}(1)\)

Логарифм от 1 по любому основанию всегда равен 0.

Таким образом, значение \(x\) при \(1 - 2 \cdot 6^x = 0\) равно 0.

7. Возращаясь к нашему неравенству, обратим внимание, что при \(1 - 2 \cdot 6^x > 0\) неравенство сохраняет свой знак.

Поэтому, чтобы найти сумму всех целых значений \(x\), которые удовлетворяют неравенству, нам нужно найти значения \(x\), при которых неравенство истинно ( \(1 - 2 \cdot 6^x > 0\)), и прибавить к ним значение \(x = 0\) (определенное значение).

Мы можем задать условие:

\(1 - 2 \cdot 6^x > 0\)

Решим это неравенство:

\(2 \cdot 6^x < 1\)

Поделим обе части на 2:

\(6^x < \frac{1}{2}\)

Теперь возведем обе части в логарифм по основанию 6:

\(\log_6(6^x) < \log_6(\frac{1}{2})\)

Применяем свойство логарифма \(\log_a(a^b) = b\):

\(x < \log_6(\frac{1}{2})\)

Какие целые значения \(x\) удовлетворяют этому неравенству?

Ответ: \(x\) должно быть меньше, чем \(\log_6(\frac{1}{2})\).