Какова сумма sinA*sin3A*sin6A?

Чтобы найти сумму \( \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A \), нам понадобится использовать тригонометрические формулы. Давайте разберемся пошагово:

1. Начнем с тригонометрической формулы произведения синусов:
\[ \sin A \cdot \sin B = \frac{\cos(A - B) - \cos(A + B)}{2} \]

2. Теперь применим эту формулу к нашей задаче. У нас есть произведение трех синусов, поэтому мы можем записать:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \sin A \cdot \sin (2 \cdot 3A) \cdot \sin (4 \cdot 3A) \]

3. Разложим каждый синус по формуле произведения:
\[ \sin (2 \cdot 3A) = \frac{\cos(2A - 3A) - \cos(2A + 3A)}{2} \]
\[ \sin (4 \cdot 3A) = \frac{\cos(4A - 3A) - \cos(4A + 3A)}{2} \]

4. Продолжим упрощать:
\[ \sin (2 \cdot 3A) = \frac{\cos(-A) - \cos(5A)}{2} \]
\[ \sin (4 \cdot 3A) = \frac{\cos(A) - \cos(7A)}{2} \]

5. Теперь у нас есть все значения, чтобы выразить исходное выражение:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \frac{\cos(-A) - \cos(5A)}{2} \cdot \frac{\cos(A) - \cos(7A)}{2} \]

6. Умножим выражение в скобках:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \frac{1}{4} \cdot (\cos(-A) - \cos(5A)) \cdot (\cos(A) - \cos(7A)) \]

7. Применим формулу разности синусов:
\[ \cos(-A) - \cos(5A) = 2 \sin(3A) \cdot \sin(-2A) \]
\[ \cos(A) - \cos(7A) = 2 \sin(4A) \cdot \sin(-3A) \]

8. Заменим это в нашем выражении:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \frac{1}{4} \cdot 2 \sin(3A) \cdot \sin(-2A) \cdot 2 \sin(4A) \cdot \sin(-3A) \]

9. Сократим двойки:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \frac{1}{4} \cdot \sin(3A) \cdot \sin(-2A) \cdot \sin(4A) \cdot \sin(-3A) \]

10. Используем формулу двойного угла для синуса:
\[ \sin(-2A) = -\sin(2A) \]
\[ \sin(-3A) = -\sin(3A) \]

11. Подставим эти значения и продолжим упрощение:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \frac{1}{4} \cdot \sin(3A) \cdot (-\sin(2A)) \cdot \sin(4A) \cdot (-\sin(3A)) \]

12. Применим формулу разности синусов снова:
\[ \sin(3A) \cdot \sin(2A) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(A) - \cos(5A)] \]
\[ \sin(4A) \cdot \sin(3A) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(A) - \cos(7A)] \]

13. Заменим это в нашем выражении:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot [\cos(A) - \cos(5A)] \cdot (-\sin(2A)) \cdot \frac{1}{2} \cdot [\cos(A) - \cos(7A)] \cdot (-\sin(3A)) \]

14. Умножим все множители:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \frac{1}{16} \cdot [\cos(A) - \cos(5A)] \cdot \sin(2A) \cdot [\cos(A) - \cos(7A)] \cdot \sin(3A) \]

15. Последним шагом упростим этот выражение. Я не буду раскрывать скобки, чтобы сохранить его более компактным:
\[ \sin A \cdot \sin 3A \cdot \sin 6A = \frac{1}{16} \cdot [\cos(A) - \cos(5A)] \cdot \sin(2A) \cdot [\cos(A) - \cos(7A)] \cdot \sin(3A) \]