Какова сумма первых восьми членов арифметической прогрессии, если она равна сумме первых одиннадцати членов этой

Чтобы найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, которая равна сумме первых одиннадцати членов этой прогрессии, нам нужно разобраться в формуле для суммы прогрессии и воспользоваться им для нахождения ответа.

Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии.

У нас есть два условия задачи: сумма первых восьми членов прогрессии равна сумме первых одиннадцати членов этой прогрессии. Обозначим сумму первых восьми членов как \(S_8\) и сумму первых одиннадцати членов как \(S_{11}\).

Мы знаем, что:

\[S_8 = S_{11}\]

Подставляя значения в формулу для суммы первых \(n\) членов прогрессии, получаем:

\[\frac{8(a_1 + a_8)}{2} = \frac{11(a_1 + a_{11})}{2}\]

Упростим это уравнение:

\[8(a_1 + a_8) = 11(a_1 + a_{11})\]

Раскроем скобки:

\[8a_1 + 8a_8 = 11a_1 + 11a_{11}\]

Последний шаг - получим уравнение относительно \(a_{11}\):

\[8a_8 - 11a_{11} = 3a_1\]

Теперь мы можем решить это уравнение и найти значения членов прогрессии. Однако, поскольку задача просит найти сумму первых девятнадцати членов этой же прогрессии, мы сначала найдем эту сумму, а потом вернемся к нахождению значений членов прогрессии.

Подставим \(n = 19\) в формулу для суммы первых \(n\) членов прогрессии:

\[S_{19} = \frac{19(a_1 + a_{19})}{2}\]

Чтобы найти сумму первых девятнадцати членов, нам нужно знать значения \(a_1\) и \(a_{19}\). Мы можем найти их, решив систему уравнений, состоящую из исходного уравнения \(8a_8 - 11a_{11} = 3a_1\) и уравнения, которое описывает разность между \(a_{19}\) и \(a_1\). Чтобы построить это уравнение, воспользуемся формулой для \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(d\) - разность между членами прогрессии.

В нашем случае \(n = 19\), поэтому:

\[a_{19} = a_1 + 18d\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[8a_8 - 11a_{11} = 3a_1\]
\[a_{19} = a_1 + 18d\]

Эту систему можно решить, чтобы найти значения \(a_1\) и \(a_{19}\), а затем воспользоваться формулой для суммы первых девятнадцати членов и получить ответ.

После решения уравнений, мы можем получить значения \(a_1 = ...\), \(a_8 = ...\), \(a_{11} = ...\), \(a_{19} = ...\). Подставим эти значения в формулу для \(S_{19}\), чтобы найти сумму первых девятнадцати членов прогрессии.