Какова сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии (аn), если а4=120, а15=70?

Для решения данной задачи, нам понадобится знать формулу вычисления суммы членов арифметической прогрессии, а также значения двух членов данной прогрессии. Данная формула имеет вид:

\[S_n = \dfrac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n),\]

где \(S_n\) - сумма \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний (n-ый) член прогрессии.

Мы знаем, что \(a_4 = 120\) и \(a_{15} = 70\). Нам необходимо найти сумму первых 18 членов прогрессии \(S_{18}\).

Для этого мы должны вычислить первый член (\(a_1\)) и последний член (\(a_{18}\)) арифметической прогрессии.

Для вычисления \(d\) (разности арифметической прогрессии) нам необходимо использовать разницу между \(a_4\) и \(a_{15}\):

\[d = a_{15} - a_4\]

\[d = 70 - 120\]

\[d = -50\]

Теперь, имея значение \(d\), мы можем найти первый член арифметической прогрессии (\(a_1\)). Для этого мы используем формулу:

\[a_1 = a_{n} - (n - 1) \cdot d\]

\[a_1 = a_{4} - (4 - 1) \cdot d\]

\[a_1 = 120 - 3 \cdot (-50)\]

\[a_1 = 120 + 150\]

\[a_1 = 270\]

Теперь у нас есть значение первого члена (\(a_1\)) и разности (\(d\)), поэтому мы можем вычислить сумму первых 18 членов арифметической прогрессии \(S_{18}\), используя формулу:

\[S_n = \dfrac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

\[S_{18} = \dfrac{18}{2} \cdot (270 + a_{18})\]

Ergebis schreiben in LaTeX: \[S_{18} = 9 \cdot (270 + a_{18})\]

Нам осталось найти значение \(a_{18}\). Мы можем найти его, используя формулу:

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d\]

\[a_{18} = 270 + (18 - 1) \cdot (-50)\]

\[a_{18} = 270 + 17 \cdot (-50)\]

\[a_{18} = 270 - 850\]

\[a_{18} = -580\]

Теперь мы можем подставить найденные значения \(a_{18}\) and \(a_{1}\) в формулу суммы \(S_{18}\):

\[S_{18} = 9 \cdot (270 + (-580))\]

\[S_{18} = 9 \cdot (-310)\]

\[S_{18} = -2790\]

Итак, сумма первых 18 членов арифметической прогрессии равна -2790.