Имеется функция y=f(x), где f(x)=x^2+1. Правда ли, что значение выражения f(ctg5x)=1/cos^2(5x)?

Да, значение выражения \(f(\cot(5x))\) действительно равно \(\frac{1}{{\cos^2(5x)}}\). Давайте разберемся подробнее.

У нас дана функция \(y = f(x)\), где \(f(x) = x^2 + 1\). Чтобы узнать значение этой функции для конкретного значения аргумента, мы подставляем это значение вместо \(x\) в выражение функции. В данном случае, нам дано выражение \(f(\cot(5x))\), что означает, что мы должны подставить \(\cot(5x)\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\).

Итак, заменяем \(x\) на \(\cot(5x)\) в выражении для функции \(f(x)\):

\[f(\cot(5x)) = (\cot(5x))^2 + 1\]

Далее, мы можем выразить \(\cot(5x)\) в терминах \(\cos(5x)\) и \(\sin(5x)\) с помощью тригонометрической идентичности:

\[\cot(5x) = \frac{1}{\tan(5x)} = \frac{1}{\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}} = \frac{\cos(5x)}{\sin(5x)}\]

Теперь подставляем это выражение в функцию \(f(\cot(5x))\):

\[f(\cot(5x)) = \left(\frac{\cos(5x)}{\sin(5x)}\right)^2 + 1\]

Далее, мы можем упростить это выражение, раскрыв его в квадрат:

\[f(\cot(5x)) = \frac{\cos^2(5x)}{\sin^2(5x)} + 1\]

Теперь вспоминаем, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) для любого \(x\), и можем заменить \(\sin^2(5x)\) в выражении:

\[f(\cot(5x)) = \frac{\cos^2(5x)}{1 - \cos^2(5x)} + 1\]

С помощью алгебраических преобразований, мы можем упростить это выражение:

\[f(\cot(5x)) = \frac{\cos^2(5x)}{1 - \cos^2(5x)} + \frac{1 - \cos^2(5x)}{1 - \cos^2(5x)}\]

\[f(\cot(5x)) = \frac{\cos^2(5x) + (1 - \cos^2(5x))}{1 - \cos^2(5x)}\]

\[f(\cot(5x)) = \frac{1}{1 - \cos^2(5x)}\]

Но мы помним, что \(1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)\), поэтому можем заменить в выражении:

\[f(\cot(5x)) = \frac{1}{\sin^2(5x)}\]

И наконец, мы знаем, что \(\frac{1}{\sin^2(x)} = \csc^2(x)\), так что можем окончательно записать:

\[f(\cot(5x)) = \frac{1}{\sin^2(5x)} = \csc^2(5x) = \frac{1}{\cos^2(5x)}\]

Таким образом, мы доказали, что значение выражения \(f(\cot(5x))\) равно \(\frac{1}{{\cos^2(5x)}}\).