Какова сумма первых шестидесяти членов последовательности, определенной по формуле bn=4n–2?

Конечно, давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы объяснить каждый шаг и обосновать ответ.

Первым шагом нам нужно найти первые шестьдесят членов последовательности, определенной по формуле $b_n=4n-2$.

Для этого мы будем подставлять значения $n$ от 1 до 60 в формулу и находить соответствующие члены последовательности.

Начнем с первого члена ($n=1$):
$$b_1=4\cdot 1-2=4-2=2.$$

Теперь найдем второй член ($n=2$):
$$b_2=4\cdot 2-2=8-2=6.$$

Продолжим аналогично для остальных членов до шестидесятого.

Третий член ($n=3$):
$$b_3=4\cdot 3-2=12-2=10.$$

Четвертый член ($n=4$):
$$b_4=4\cdot 4-2=16-2=14.$$

И так далее...

Найдем шестьдесятый член последовательности ($n=60$):
$$b_{60}=4\cdot 60-2=240-2=238.$$

Теперь, чтобы найти сумму всех этих шестидесяти членов, мы просто сложим их значения:
$$S=b_1+b_2+b_3+\dots +b_{60}.$$

Подставим значения, которые мы нашли ранее:
$$S=2+6+10+\dots +238.$$

Чтобы упростить вычисления, можно заметить, что каждый член последовательности можно записать как $4n-2$. Давайте воспользуемся этим свойством.

Теперь сумма примет следующий вид:
$$S=(4\cdot 1-2)+(4\cdot 2-2)+(4\cdot 3-2)+\dots +(4\cdot 60-2).$$

Заметим, что в каждом слагаемом мы можем вынести за скобки общий множитель 4:
$$S=4(1+2+3+\dots +60)-2-2-2-\dots -2.$$

Теперь нам нужно найти сумму первых шестидесяти натуральных чисел:
$$1+2+3+\dots +60=\frac{60\cdot 61}{2}=1830.$$

Возвращаясь к формуле суммы $S$:
$$S=4\cdot 1830-2-2-2-\dots -2.$$

Важно отметить, что мы имеем 60 слагаемых "-2". Чтобы их сложить, умножим "-2" на 60:
$$60\cdot (-2)=-120.$$

Теперь внесем полученные значения в формулу для $S$:
$$S=4\cdot 1830-120.$$

Выполним вычисления:
$$S=7320-120=7200.$$

Таким образом, сумма первых шестидесяти членов последовательности, определенной по формуле $b_n=4n-2$, равна 7200.

Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и полезным!