Какова сумма первых шестидесяти членов последовательности, определенной по формуле bn=4n–2?

Конечно, давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы объяснить каждый шаг и обосновать ответ.

Первым шагом нам нужно найти первые шестьдесят членов последовательности, определенной по формуле \(b_n = 4n - 2\).

Для этого мы будем подставлять значения \(n\) от 1 до 60 в формулу и находить соответствующие члены последовательности.

Начнем с первого члена (\(n = 1\)):
\[b_1 = 4 \cdot 1 - 2 = 4 - 2 = 2.\]

Теперь найдем второй член (\(n = 2\)):
\[b_2 = 4 \cdot 2 - 2 = 8 - 2 = 6.\]

Продолжим аналогично для остальных членов до шестидесятого.

Третий член (\(n = 3\)):
\[b_3 = 4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10.\]

Четвертый член (\(n = 4\)):
\[b_4 = 4 \cdot 4 - 2 = 16 - 2 = 14.\]

И так далее...

Найдем шестьдесятый член последовательности (\(n = 60\)):
\[b_{60} = 4 \cdot 60 - 2 = 240 - 2 = 238.\]

Теперь, чтобы найти сумму всех этих шестидесяти членов, мы просто сложим их значения:
\[S = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{60}.\]

Подставим значения, которые мы нашли ранее:
\[S = 2 + 6 + 10 + \ldots + 238.\]

Чтобы упростить вычисления, можно заметить, что каждый член последовательности можно записать как \(4n - 2\). Давайте воспользуемся этим свойством.

Теперь сумма примет следующий вид:
\[S = (4 \cdot 1 - 2) + (4 \cdot 2 - 2) + (4 \cdot 3 - 2) + \ldots + (4 \cdot 60 - 2).\]

Заметим, что в каждом слагаемом мы можем вынести за скобки общий множитель 4:
\[S = 4(1 + 2 + 3 + \ldots + 60) - 2 - 2 - 2 - \ldots - 2.\]

Теперь нам нужно найти сумму первых шестидесяти натуральных чисел:
\[1 + 2 + 3 + \ldots + 60 = \frac{60 \cdot 61}{2} = 1830.\]

Возвращаясь к формуле суммы \(S\):
\[S = 4 \cdot 1830 - 2 - 2 - 2 - \ldots - 2.\]

Важно отметить, что мы имеем 60 слагаемых "-2". Чтобы их сложить, умножим "-2" на 60:
\[60 \cdot (-2) = -120.\]

Теперь внесем полученные значения в формулу для \(S\):
\[S = 4 \cdot 1830 - 120.\]

Выполним вычисления:
\[S = 7320 - 120 = 7200.\]

Таким образом, сумма первых шестидесяти членов последовательности, определенной по формуле \(b_n = 4n - 2\), равна 7200.

Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и полезным!