Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если разность между четвертым и первым членами равна

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы для геометрической прогрессии. Дано, что разность между четвертым и первым членами прогрессии равна 35.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как \(a\), а её знаменатель (отношение членов прогрессии) как \(r\).

Тогда, 4-й член равен \(ar^3\) и первый член равен \(a\).

Из условия задачи, разность между 4-м и 1-м членами равна 35, поэтому мы можем записать уравнение:

\[ar^3 - a = 35\]

Также нам дано, что сумма первых трёх членов прогрессии составляет \(S_3\). Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{{a \cdot (1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

В нашем случае, сумма первых трёх членов прогрессии составляет \(S_3\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S_3 = \frac{{a \cdot (1 - r^3)}}{{1 - r}}\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить одновременно:

\[\begin{cases} ar^3 - a = 35 \\ S_3 = \frac{{a \cdot (1 - r^3)}}{{1 - r}} \end{cases}\]

Для начала решим первое уравнение. Вынесем общий множитель \(a\) из левой части уравнения:

\[a \cdot (r^3 - 1) = 35\]

Заметим, что \(r^3 - 1\) является разностью куба и единицы:

\[a \cdot (r - 1) \cdot (r^2 + r + 1) = 35\]

Таким образом, мы разбиваем уравнение на множители. Поскольку сумма первых трёх членов прогрессии уже известна и равна \(S_3\), мы можем подставить это значение во второе уравнение:

\[\frac{{a \cdot (1 - r^3)}}{{1 - r}} = S_3\]

Раскроем скобки:

\[\frac{{a - a \cdot r^3}}{{1 - r}} = S_3\]

Объединим общие множители:

\[\frac{{a \cdot (1 - r^3 - 1 + r)}}{{1 - r}} = S_3\]

Сократим выражения:

\[\frac{{a \cdot (r - r^3)}}{{1 - r}} = S_3\]

Видим, что числитель содержит разность куба и единицы для \(r\):

\[\frac{{a \cdot (r - 1) \cdot (r^2 + r + 1)}}{{1 - r}} = S_3\]

Подставим вместо числителя значение из первого уравнения:

\[\frac{{35 \cdot (r^2 + r + 1)}}{{1 - r}} = S_3\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствует только одна переменная \(r\). Решим его и найдём значение \(r\).

Получив значение \(r\), можно найти первый член прогрессии \(a\) из первого уравнения:

\[ar^3 - a = 35\]

Используя полученные значения \(r\) и \(a\), мы можем рассчитать сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

\[S_5 = a \cdot \frac{{1 - r^5}}{{1 - r}}\]

Таким образом, мы можем получить максимально подробный и обоснованный ответ, используя формулы геометрической прогрессии и решая уравнения.