Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если известен, что третий член равен 18, а сумма второго

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии. Дано, что третий член геометрической прогрессии равен 18. Пусть первый член прогрессии будет \(a\), а знаменатель будет \(r\). Тогда третий член может быть записан как \(ar^2 = 18\).

Также, задано, что сумма второго и четвертого членов равна \(18r + 18r^3\). Мы можем записать это уравнение следующим образом: \(18r + 18r^3 = 26\).

Теперь у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
ar^2 &= 18 \\
18r + 18r^3 &= 26
\end{align*}
\]

Давайте решим эти уравнения по очереди.

Из первого уравнения мы можем выразить \(a\) через \(r\):
\(a = \frac{18}{r^2}\).

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:
\(18r + 18r^3 = 26\).
Заменим \(a\) на \(\frac{18}{r^2}\):
\(18r + 18r^3 = 26\).
Разделим уравнение на 2:
\(9r + 9r^3 = 13\).

Теперь у нас есть уравнение третьей степени, которое мы можем решить. Однако, для этого нам потребуются навыки факторизации или численных методов. Для простоты решения, воспользуемся численным методом и найдем приближенное значение \(r\). Ответы точные числовые значения.

Примечание: Как альтернативу, можно воспользоваться графиком уравнения для определения его корней, но для упрощения я использовал численный метод.

Используя численные методы, мы получаем \(r \approx 0.727\) (до трех значащих цифр).

Теперь мы можем найти значение \(a\), заменяя \(r\) в первом уравнении:
\(a = \frac{18}{(0.727)^2} \approx 34.32\) (до двух значащих цифр).

Теперь, чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы первых \(n\) членов:

\[S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

Подставляя значения, имеем:
\[S_5 = \frac{34.32(1-(0.727)^5)}{1-0.727}\]