Какова сумма наибольшего и наименьшего значений функции y=(x-2)^2e^-x на интервале от 0 до 5? Варианты ответов: 1

Для начала, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y=(x-2)^2e^{-x}\) на интервале от 0 до 5, мы можем взять производную этой функции и найти ее корни. Это позволит нам найти точки экстремума, где функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y=(x-2)^2e^{-x}\):
\[
\frac{dy}{dx} = 2(x-2)e^{-x} - (x-2)^2e^{-x}
\]

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[
2(x-2)e^{-x} - (x-2)^2e^{-x} = 0
\]

Шаг 3: Решим уравнение:
\[
e^{-x}[2(x-2) - (x-2)^2] = 0
\]

Шаг 4: Разложим скобку и получим:
\[
e^{-x}[2x-4 - (x^2 - 4x + 4)] = 0
\]

\[
e^{-x}[2x-4-x^2+4x-4] = 0
\]

\[
e^{-x}(-x^2+6x-4) = 0
\]

Шаг 5: Получившееся уравнение \(e^{-x}(-x^2+6x-4) = 0\) не имеет решений в интервале от 0 до 5. То есть, в данной функции нет точек экстремума на заданном интервале.

Теперь мы можем найти значение функции на концах интервала, а именно при \(x = 0\) и при \(x = 5\).

Для \(x = 0\):
\[
y(0) = (0-2)^2e^{-0} = 4
\]

Для \(x = 5\):
\[
y(5) = (5-2)^2e^{-5} = 9e^{-5}
\]

Теперь, чтобы найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции на интервале от 0 до 5, нам нужно сложить значения функции \(y(0)\) и \(y(5)\):
\[
4 + 9e^{-5}
\]

К сожалению, нам не даны конкретные значения для \(e^{-5}\), поэтому мы не можем вычислить точное численное значение этой суммы. Ответ должен быть в форме \(4 + 9e^{-5}\).