Какова сумма длин боковых сторон трапеции, в которую вписана окружность и длина средней линии равна

Для начала, давайте разберемся с трапецией, в которую вписана окружность и длина средней линии равна.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две параллельных стороны. Обозначим основания трапеции как "a" и "b", а высоту трапеции как "h". Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины оснований "a" и "b".

Теперь обратим внимание на окружность, вписанную в трапецию. Радиус этой окружности будем обозначать как "r".

Чтобы найти сумму длин боковых сторон трапеции, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[S = a + b + 2\sqrt{(r^2 - \frac{h^2}{4})}\]

Давайте разделим решение на несколько шагов, чтобы все было понятно:

Шаг 1: Найдем высоту трапеции "h"
У нас нет информации о высоте трапеции, поэтому нам нужно получить эту информацию. Для этого можно воспользоваться формулой для площади трапеции:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

Но у нас есть информация о средней линии трапеции. Известно, что средняя линия равна полусумме длин оснований:

\[\frac{a + b}{2}\]

Так как средняя линия равна "h", можем записать:

\[\frac{a + b}{2} = h\]

Теперь мы можем найти высоту трапеции, подставив найденное значение средней линии вместо "h" в формулу площади. Получаем:

\[S = \frac{(a + b) \cdot \frac{a + b}{2}}{2} = \frac{(a + b)^2}{4}\]

Шаг 2: Найдем радиус окружности "r"
Теперь мы должны найти радиус вписанной окружности. Для этого воспользуемся следующей формулой:

\[r = \frac{S}{p}\]

где "S" - площадь трапеции, "p" - полупериметр трапеции. Полупериметр можно найти как сумму длин оснований, поделенную на 2:

\[p = \frac{a + b}{2}\]

Подставляем значения в формулу для радиуса:

\[r = \frac{\frac{(a + b)^2}{4}}{\frac{a + b}{2}} = \frac{a + b}{4}\]

Шаг 3: Найдем сумму длин боковых сторон "S"
Осталось только найти сумму длин боковых сторон трапеции. Подставим значение радиуса и высоты в формулу:

\[S = a + b + 2\sqrt{(r^2 - \frac{h^2}{4})}\]
\[S = a + b + 2\sqrt{(\frac{a + b}{4})^2 - \frac{(\frac{a+b}{2})^2}{4}}\]
\[S = a + b + 2\sqrt{\frac{(a + b)^2 - (a + b)^2}{16}}\]
\[S = a + b + 2\sqrt{\frac{16}{16}} = a + b + 2 = a + b + 2\]
\[S = a + b + 2\]

Таким образом, сумма длин боковых сторон трапеции, в которую вписана окружность, и длина средней линии равна \(a + b + 2\).