Какова сумма cos3b cos5b cos8b?
Mishutka
Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическим тождеством произведения косинусов:
\[\cos a \cos b = \frac{1}{2} \left( \cos(a + b) + \cos(a - b) \right)\]
Применяя это тождество три раза, мы можем преобразовать выражение:
\begin{align*}
\cos 3b \cos 5b \cos 8b &= \left(\cos(3b + 5b) + \cos(3b - 5b)\right) \cos 8b \\
&= \left(\cos 8b + \cos(-2b)\right) \cos 8b \\
&= \cos^2 8b + \cos 8b \cdot \cos(-2b)
\end{align*}
Теперь обратимся к формуле двойного угла:
\[\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1\]
Применяя эту формулу, получим:
\begin{align*}
\cos^2 8b + \cos 8b \cdot \cos(-2b) &= \cos^2 8b + \cos 8b \cdot (2\cos^2 b - 1) \\
&= \cos^2 8b + 2\cos 8b \cos^2 b - \cos 8b \\
&= \cos^2 8b + 2\cos 8b \cos^2 b - \cos 8b + \cos^2 b - \cos^2 b \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b + 2\cos^2 b \cos 8b - (\cos 8b + \cos^2 b) \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b (1 - 2\cos^2 b) \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b \sin^2 b \quad \text{(используем тригонометрическое тождество } \sin^2 b = 1 - \cos^2 b \text{)} \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b (1 - \cos^2 b) \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b + \cos^3 8b \\
\end{align*}
Таким образом, сумма равна \(\cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b + \cos^3 8b\).
\[\cos a \cos b = \frac{1}{2} \left( \cos(a + b) + \cos(a - b) \right)\]
Применяя это тождество три раза, мы можем преобразовать выражение:
\begin{align*}
\cos 3b \cos 5b \cos 8b &= \left(\cos(3b + 5b) + \cos(3b - 5b)\right) \cos 8b \\
&= \left(\cos 8b + \cos(-2b)\right) \cos 8b \\
&= \cos^2 8b + \cos 8b \cdot \cos(-2b)
\end{align*}
Теперь обратимся к формуле двойного угла:
\[\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1\]
Применяя эту формулу, получим:
\begin{align*}
\cos^2 8b + \cos 8b \cdot \cos(-2b) &= \cos^2 8b + \cos 8b \cdot (2\cos^2 b - 1) \\
&= \cos^2 8b + 2\cos 8b \cos^2 b - \cos 8b \\
&= \cos^2 8b + 2\cos 8b \cos^2 b - \cos 8b + \cos^2 b - \cos^2 b \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b + 2\cos^2 b \cos 8b - (\cos 8b + \cos^2 b) \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b (1 - 2\cos^2 b) \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b \sin^2 b \quad \text{(используем тригонометрическое тождество } \sin^2 b = 1 - \cos^2 b \text{)} \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b (1 - \cos^2 b) \\
&= \cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b + \cos^3 8b \\
\end{align*}
Таким образом, сумма равна \(\cos^2 8b + \cos^2 b - \cos 8b + \cos^3 8b\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
