Какова сумма cos3b cos5b cos8b?

Question

Алгебра: Какова сумма cos3b cos5b cos8b?

Mishutka · Accepted Answer

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическим тождеством произведения косинусов:

\cos a \cos b = \frac{1}{2} (\cos (a + b) + \cos (a - b))

Применяя это тождество три раза, мы можем преобразовать выражение:

\begin{aligned} \cos 3 b \cos 5 b \cos 8 b & = (\cos (3 b + 5 b) + \cos (3 b - 5 b)) \cos 8 b \\ = (\cos 8 b + \cos (- 2 b)) \cos 8 b \\ = \cos^{2} 8 b + \cos 8 b \cdot \cos (- 2 b) \end{aligned}

Теперь обратимся к формуле двойного угла:

\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1

Применяя эту формулу, получим:

\begin{aligned} \cos^{2} 8 b + \cos 8 b \cdot \cos (- 2 b) & = \cos^{2} 8 b + \cos 8 b \cdot (2 \cos^{2} b - 1) \\ = \cos^{2} 8 b + 2 \cos 8 b \cos^{2} b - \cos 8 b \\ = \cos^{2} 8 b + 2 \cos 8 b \cos^{2} b - \cos 8 b + \cos^{2} b - \cos^{2} b \\ = \cos^{2} 8 b + \cos^{2} b + 2 \cos^{2} b \cos 8 b - (\cos 8 b + \cos^{2} b) \\ = \cos^{2} 8 b + \cos^{2} b - \cos 8 b (1 - 2 \cos^{2} b) \\ = \cos^{2} 8 b + \cos^{2} b - \cos 8 b \sin^{2} b (используем тригонометрическое тождество \sin^{2} b = 1 - \cos^{2} b) \\ = \cos^{2} 8 b + \cos^{2} b - \cos 8 b (1 - \cos^{2} b) \\ = \cos^{2} 8 b + \cos^{2} b - \cos 8 b + \cos^{3} 8 b \end{aligned}

Таким образом, сумма равна

\cos^{2} 8 b + \cos^{2} b - \cos 8 b + \cos^{3} 8 b

.