Какова скорость ящика с пулей после того, как пуля остановится в песке, и какова скорость пули, если ящик поднялся

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии. Начнем с первого закона сохранения импульса, который гласит, что сумма импульсов всех тел в системе до и после столкновения остается постоянной.

Импульс ящика и пули до столкновения равен нулю, так как они покоятся, и после столкновения они будут двигаться вместе. Обозначим скорость ящика после столкновения как \(v_1\) и скорость пули после столкновения как \(v_2\).

Мы также знаем, что масса ящика равна 900 г (или 0,9 кг) и масса пули равна 10 г (или 0,01 кг).

По закону сохранения импульса:
\[mv_1 + mv_2 = 0\]
\(0,9v_1 + 0,01v_2 = 0\) (1)

Далее, по закону сохранения энергии:
\[E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}}\]

Первая форма энергии до столкновения состоит из потенциальной энергии пули и ящика (высота 20 см) и кинетической энергии пули:
\[E_{\text{начальная}} = m_{\text{пуля}} \cdot g \cdot h + m_{\text{ящик}} \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} m_{\text{пуля}} v_2^2\]

Вторая форма энергии после столкновения состоит только из кинетической энергии ящика:
\[E_{\text{конечная}} = \frac{1}{2} m_{\text{ящик}} v_1^2\]

Подставим значения в эти формулы и решим уравнение относительно \(v_1\):

\[0,01 \cdot 10 \cdot 0,2 + 0,9 \cdot 10 \cdot 0,2 + \frac{1}{2} \cdot 0,01 v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,9 v_1^2\]

\[0,002 + 0,18 + 0,00005 v_2^2 = 0,45 v_1^2\]
\[0,182 + 0,00005 v_2^2 = 0,45 v_1^2\] (2)

Таким образом, у нас есть два уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными \(v_1\) и \(v_2\). Решим их.

Сначала решим уравнение (1). Умножим оба выражения на 100 для удобства вычислений:

\[90v_1 + v_2 = 0\] (3)

Подставим выражение для \(v_1\) из уравнения (3) в уравнение (2):

\[0,182 + 0,00005v_2^2 = 0,45 \left(-\frac{90v_2}{100}\right)^2\]
\[0,182 + 0,00005v_2^2 = 0,45 \cdot 0,81 v_2^2\]
\[0,182 + 0,00005v_2^2 = 0,3645 v_2^2\]
\[0,00005v_2^2 - 0,3645 v_2^2 = -0,182\]
\[-0,36445v_2^2 = -0,182\]
\[v_2^2 = \frac{-0,182}{-0,36445}\]
\[v_2^2 = 0,5\]
\[v_2 = \sqrt{0,5}\]
\[v_2 \approx 0,707 \, \text{м/c}^2\]

Теперь, используя значение \(v_2\) найденное выше, подставим его в уравнение (3):

\[90v_1 + 0,707 = 0\]
\[90v_1 = -0,707\]
\[v_1 = \frac{-0,707}{90}\]
\[v_1 \approx -0,0079 \, \text{м/c}^2\]

Ответ: Скорость ящика после столкновения равна приблизительно -0,0079 м/с и скорость пули после столкновения равна приблизительно 0,707 м/с.