Какова скорость второй тележки после их разъезда, если первая тележка имеет скорость 0,25 м/с и массу 2 кг, а вторая

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Первая тележка имеет массу \(m_1 = 2\) кг и скорость \(v_1 = 0.25\) м/с. Вторая тележка имеет массу \(m_2 = 10\) кг. Пусть \(v_2\) - скорость второй тележки после разъезда.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов замкнутой системы тележек до и после разъезда должна оставаться постоянной. Это можно записать в виде:

\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v"_2,\]

где \(v"_2\) - конечная скорость второй тележки после разъезда.

Также, используя закон сохранения энергии, можно сказать, что полная механическая энергия системы до и после разъезда должна быть одинаковой. При разъезде, кинетическая энергия у первой тележки становится равной нулю (изначально она покоится), поэтому можно записать:

\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v"_2)^2.\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений и найти \(v"_2\).

Сначала, воспользуемся формулой для импульса:

\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v"_2.\]

Подставляем известные значения:

\[2 \cdot 0.25 + 10 \cdot v_2 = (2 + 10) \cdot v"_2.\]

Упрощаем:

\[0.5 + 10v_2 = 12v"_2.\]

Теперь, воспользуемся формулой для энергии:

\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v"_2)^2.\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.25)^2 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot (2 + 10) \cdot (v"_2)^2.\]

Упрощаем:

\[0.125 + 5v_2^2 = 6(v"_2)^2.\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[0.5 + 10v_2 = 12v"_2,\]
\[0.125 + 5v_2^2 = 6(v"_2)^2.\]

Мы можем решить эту систему численно или использовать методы алгебры, чтобы выразить \(v"_2\) через \(v_2\). Однако, для решения данной задачи мы можем предположить, что исходная система относится к случаю, когда \(v_2\) намного больше, чем \(v_1\). В таком случае, \(v"_2\) будет близка к \(v_2\), и мы можем приближенно вычислить ее, игнорируя члены второго порядка.

Итак, пусть \(v"_2 = v_2\). Подставляем это в первое уравнение:

\[0.5 + 10v_2 = 12v_2.\]

Упрощаем и решаем:

\[10v_2 - 12v_2 = -0.5,\]
\[-2v_2 = -0.5,\]
\[v_2 = 0.25\] м/с.

Поэтому, скорость второй тележки после разъезда будет \(v"_2 = 0.25\) м/с.