Какова скорость тела в определенный момент времени t, когда оно движется прямолинейно по закону х(t) = 3t^4 - 2t^3

Хочу отметить, что в данном случае мы говорим о скорости тела, а не о скорости изменения положения. Скорость определяется как производная функции положения \( x(t) \) по времени \( t \). Для нахождения скорости нам нужно найти производную функции \( x(t) \) по времени.

Для начала найдем производную каждого слагаемого функции \( x(t) \) по отдельности. Для взятия производной слагаемого, содержащего степень, мы будем использовать правило степенной функции:

Если у нас есть функция вида \( f(x) = x^n \), то производная этой функции по \( x \) равна \( f"(x) = nx^{n-1} \).

Данный закон будет использоваться для каждого слагаемого нашей функции \( x(t) = 3t^4 - 2t^3 + 1 \).

Производная первого слагаемого \( 3t^4 \):

\[
\frac{{d}}{{dt}}(3t^4) = 3 \cdot 4t^{4-1}
\]

\[
= 12t^3
\]

Производная второго слагаемого \( -2t^3 \):

\[
\frac{{d}}{{dt}}(-2t^3) = -2 \cdot 3t^{3-1}
\]

\[
= -6t^2
\]

Производная третьего слагаемого \( 1 \):

Здесь нет переменной \( t \), поэтому производная будет равна 0.

Теперь мы можем собрать все найденные производные вместе, чтобы получить производную функции \( x(t) \):

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = 12t^3 - 6t^2 + 0
\]

Упрощая выражение, получим:

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = 12t^3 - 6t^2
\]

Таким образом, скорость тела в момент времени \( t \), когда оно движется прямолинейно по закону \( x(t) = 3t^4 - 2t^3 + 1 \), равна \( 12t^3 - 6t^2 \) метров в секунду.