Какова длина каждого катета прямоугольного треугольника, если их сумма составляет 18 см, и нужно найти комбинацию длин

Чтобы найти комбинацию длин катетов, при которой площадь прямоугольного треугольника будет максимальной, нам необходимо использовать свойства геометрической фигуры.

Длина каждого катета прямоугольного треугольника будет положительным числом, меньшим 18 см, так как их сумма должна составлять 18 см.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2}ab\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Для того чтобы максимизировать площадь, нам необходимо найти такие значения длин катетов, при которых произведение \(ab\) будет наибольшим. Отметим, что сумма длин катетов равна 18 см:

\[a + b = 18.\]

Мы можем выразить одну из переменных через другую и подставить это значение в формулу площади, чтобы получить функцию площади только от одной переменной. Возьмем, например, \(a = 18 - b\). Подставим его в формулу площади:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (18 - b) \cdot b.\]

Теперь нам нужно найти максимальное значение площади, оптимизируя функцию. Для этого мы можем использовать метод нахождения экстремумов, такой как производная. Найдем производную функции площади по переменной \(b\):

\[\frac{dS}{db} = \frac{1}{2}(18 - 2b).\]

Чтобы найти значения \(b\), при которых производная равна нулю и площадь будет максимальной, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[\frac{1}{2}(18 - 2b) = 0.\]

Найдем \(b\):

\[b = \frac{18}{2} = 9.\]

Теперь найдем значение \(a\) с использованием уравнения, которое мы использовали для выражения \(a\):

\[a = 18 - b = 18 - 9 = 9.\]

Таким образом, комбинация длин катетов, при которой площадь будет максимальной, состоит из двух катетов длиной по 9 см. Площадь треугольника будет максимальной и равна:

\[S_{\text{макс}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 = 40.5 \, \text{см}^2.\]

Таким образом, максимальная площадь прямоугольного треугольника будет равна 40.5 квадратных сантиметров.