Какова скорость течения реки, если лодка, двигаясь со скоростью 12 км/ч, пересекает реку под углом 55 градусов

Для решения этой задачи нам необходимо применить теорему синусов и теорему Косинусов.

Введем следующие обозначения:
- \(v\) - скорость течения реки, которую мы хотим найти;
- \(v_b\) - скорость лодки относительно воды;
- \(v_r\) - скорость лодки относительно берега.

Используя теорему Косинусов, можем записать:
\[
v_r^2 = v_b^2 + v^2 - 2 \cdot v_b \cdot v \cdot \cos(\alpha)
\]

Где \(\alpha\) - угол между направлением движения лодки относительно воды и направлением берега, и здесь он равен \(90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).

Так как лодка движется против течения, то \(v_b = 12 \, \text{км/ч}\).
Также, так как лодка пересекает реку под углом к берегу, то \(v_r\) можно выразить через скорость течения реки \(v\) и скорость лодки относительно воды \(v_b\) следующим образом:
\[
v_r = v_b - v
\]

Теперь, подставим это в теорему Косинусов:
\[
(v_b - v)^2 = v_b^2 + v^2 - 2 \cdot v_b \cdot v \cdot \cos(35^\circ)
\]

Раскроем скобки:
\[
v_b^2 - 2 \cdot v_b \cdot v + v^2 = v_b^2 + v^2 - 2 \cdot v_b \cdot v \cdot \cos(35^\circ)
\]

Сократим слагаемые:
\[
- 2 \cdot v_b \cdot v = - 2 \cdot v_b \cdot v \cdot \cos(35^\circ)
\]

Разделим обе части уравнения на \(-2 \cdot v_b \cdot v\):
\[
1 = \cos(35^\circ)
\]

Выразим отсюда \(\cos(35^\circ)\), обратив внимание, что \(\cos(35^\circ) = \cos(90^\circ - 55^\circ) = \sin(55^\circ)\):
\[
\cos(35^\circ) = \sin(55^\circ)
\]

Из таблицы значение \(\sin(55^\circ)\) равно примерно \(0.819\).

Таким образов, \(\sin(55^\circ) = \cos(35^\circ) = \frac{v_b}{v}\).

Теперь можем найти \(v\), подставив в выражение значение \(v_b = 12 \, \text{км/ч}\), получим:
\[
v = \frac{v_b}{\sin(55^\circ)} = \frac{12}{0.819} \approx 14.66 \, \text{км/ч}
\]

Итак, скорость течения реки составляет примерно \(14.66 \, \text{км/ч}\).