Какова скорость протона, когда он вылетает из магнитного поля под углом 30 градусов к его первоначальному направлению?

Данный вопрос относится к теме физики и, конкретнее, к движению заряда в магнитном поле. Для решения задачи нам потребуется использовать формулу для силы Лоренца:

\[F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin{\theta}\]

где \(F\) - сила Лоренца, \(q\) - заряд протона, \(v\) - скорость протона, \(B\) - индукция магнитного поля, \(\theta\) - угол между вектором скорости и силовыми линиями магнитного поля.

Сила Лоренца оказывает перпендикулярное к вектору скорости воздействие на заряд и вызывает его отклонение под действием магнитного поля. Сила всегда направлена перпендикулярно к вектору скорости и к силовым линиям магнитного поля, поэтому эта сила не выполняет работы и не изменяет кинетическую энергию заряда. В результате протон перераспределяет свою скорость вдоль кривой, подчиняющейся закону вращения, называемому законом Лоренца.

В данной задаче известны следующие значения:

\(q = 1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}\) (заряд протона),
\(B = 50 \, \text{мТл}\) (индукция магнитного поля),
\(\theta = 30^\circ\) (угол между вектором скорости и силовыми линиями магнитного поля).

Теперь мы можем рассчитать силу Лоренца, действующую на протон:

\[F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin{\theta}\]

\[F = (1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}) \cdot v \cdot (50 \cdot 10^{-3} \, \text{Тл}) \cdot \sin{30^\circ}\]

\[F = 8 \cdot 10^{-18} \cdot v \cdot \sin{30^\circ} \, \text{Н}\]

Теперь мы можем использовать второй закон Ньютона, чтобы получить ускорение:

\[F = m \cdot a\]

Где \(m\) - масса протона, \(a\) - ускорение протона. Поскольку в задаче сказано, что отношение заряда протона к его массе равно 10 (значит, масса протона равна \(10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}\)):

\[8 \cdot 10^{-18} \cdot v \cdot \sin{30^\circ} = (10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}) \cdot a\]

Теперь мы можем решить эту формулу относительно ускорения и записать его в виде:

\[a = \frac{8 \cdot 10^{-18} \cdot v \cdot \sin{30^\circ}}{10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}\]

Теперь, когда у нас есть ускорение, мы можем использовать формулу для связи скорости и ускорения в процессе равноускоренного движения:

\[v_f = v_0 + a \cdot t\]

В данной задаче протон вылетает из магнитного поля, поэтому \(v_f = 0\), так как его скорость после вылета равна нулю. Также известно, что протон вылетает из области шириной 10 см (пространство) в направлении, противоположном силовым линиям магнитного поля. Поэтому начальная скорость равна \(v_0\).

Теперь мы можем записать формулу для вычисления начальной скорости:

\[0 = v_0 + \frac{{8 \cdot 10^{-18} \cdot v_0 \cdot \sin{30^\circ}}}{{10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}}\]

Из этого уравнения мы можем решить \(v_0\).

\[v_0 = -\frac{{8 \cdot 10^{-18} \cdot v_0 \cdot \sin{30^\circ}}}{{10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}}\]

\[10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг} \cdot v_0 = -8 \cdot 10^{-18} \cdot v_0 \cdot \sin{30^\circ}\]

\[10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг} = -8 \cdot 10^{-18} \cdot \sin{30^\circ}\]

\[v_0 = -\frac{{10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}}{{8 \cdot 10^{-18} \cdot \sin{30^\circ}}}\]

Раскроем значения и рассчитаем \(v_0\):

\[v_0 = -\frac{{10^{-7}}}{{8 \cdot 10^{-18} \cdot \frac{1}{2}}}\]

\[v_0 = -\frac{{10^{-7}}}{{4 \cdot 10^{-18}}}\]

\[v_0 = -\frac{{10^{-7}}}{{4}}\]

Таким образом, начальная скорость протона равна \(-\frac{{10^{-7}}}{{4}}\) м/с.

Теперь мы можем рассчитать конечную скорость протона, когда он вылетает. Используем формулу равноускоренного движения:

\[v_f = v_0 + a \cdot t\]

Так как точка вылета протона находится в конце области, где скорость протона равна нулю (\(v_f = 0\)), ускорение \(a\) остается таким же, и мы можем записать:

\[0 = v_0 + a \cdot t\]

\[0 = -\frac{{10^{-7}}}{{4}} + \frac{{8 \cdot 10^{-18} \cdot \frac{1}{2} \cdot t}}{{10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}}\]

Решим это уравнение относительно времени \(t\):

\[\frac{{10^{-7}}}{{4}} = \frac{{8 \cdot 10^{-18} \cdot \frac{1}{2} \cdot t}}{{10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{{10^{-7}}}{{4}} \cdot \frac{{10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}}{8 \cdot 10^{-18} \cdot \frac{1}{2}} = t\]

\[\frac{{10 \cdot 10^{-7} \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}}{{4 \cdot 8 \cdot 10^{-18} \cdot \frac{1}{2}}} = t\]

\[t = \frac{{10 \cdot 10^{-7} \cdot 10^{-8} \, \text{кг}}}{{4 \cdot 8 \cdot 10^{-18} \cdot \frac{1}{2}}}\]

Выполним несложные вычисления:

\[t = \frac{{10^{-7}}}{{4 \cdot 8}}\]

\[t = \frac{{10^{-7}}}{{32}}\]

\[t = 3,125 \cdot 10^{-9}\]

Таким образом, время, за которое протон проходит область шириной 10 см, равно \(3,125 \times 10^{-9}\) секунд.

Теперь мы можем найти скорость протона, когда он вылетает из магнитного поля однородного магнитного поля. Используем формулу равноускоренного движения:

\[v_f = v_0 + a \cdot t\]

Подставим известные значения:

\[v_f = -\frac{{10^{-7}}}{{4}} + \left(8 \cdot 10^{-18} \cdot \frac{1}{2} \times 3,125 \times 10^{-9}\right) \div \left(10 \cdot 10^{-8} \, \text{кг}\right)\]

Рассчитаем это выражение:

\[v_f = -\frac{{10^{-7}}}{{4}} + \left(8 \cdot 10^{-18} \cdot \frac{1}{2} \times 3,125 \times 10^{-9}\right) \div \left(10^{-7} \, \text{кг}\right)\]

\[v_f = -\frac{{10^{-7}}}{{4}} + \frac{{8 \cdot 10^{-27} \cdot 3,125 \times 10^{-9}}}{{10^{-7}}}\]

\[v_f = -\frac{{10^{-7}}}{{4}} + \frac{{25 \cdot 10^{-27}}}{{4}}\]

\[v_f = -\frac{{10^{-7}}}{{4}} + \frac{{25 \cdot 10^{-27}}}{{4}}\]

\[v_f = -\frac{{10^{-7} - 25 \times 10^{-27}}}{{4}}\]

\[v_f = \frac{{-10^{-7} + 25 \times 10^{-27}}}{{4}}\]

\[v_f = \frac{{-100 + 25}}{{4}} \times 10^{-27}\]

\[v_f = -\frac{{75}}{{4}} \times 10^{-27}\, \text{м/с}\]

Итак, скорость протона, когда он вылетает из магнитного поля под углом 30 градусов к его первоначальному направлению, равна \(-\frac{{75}}{{4}} \times 10^{-27}\) м/с в направлении, противоположном первоначальному вектору скорости протона.

Ответ: скорость протона, когда он вылетает из магнитного поля под углом 30 градусов к его первоначальному направлению, составляет \(-\frac{{75}}{{4}} \times 10^{-27}\) м/с.