Какова скорость подъема вертолета в момент времени t = t при вертикальном взлете из состояния покоя, если сила тяги

Для решения этой задачи нам понадобятся уравнения движения вертолета. Пусть скорость подъема вертолета в момент времени \(t\) равна \(V(t)\), а сила тяги винта равна \(T(t)\). Вес вертолета обозначим как \(mg\), где \(m\) - масса вертолета, а \(g\) - ускорение свободного падения. Тогда нам задано, что сила тяги винта превышает его вес в \(n\) раз, следовательно, \(T(t) = nmg\).

Также нам дано, что сопротивление воздуха пропорционально первой степени скорости и задается уравнением \(R = -mkV(t)\), где \(k\) - коэффициент пропорциональности.

Итак, уравнение движения вертолета в вертикальном направлении принимает вид:
\[
mg - mkV(t) = m\frac{{dV(t)}}{{dt}}
\]

Мы решим это дифференциальное уравнение для \(V(t)\), чтобы определить скорость подъема вертолета в момент времени \(t\).

Для начала перепишем уравнение в виде:
\[
\frac{{dV(t)}}{{dt}} = g - kV(t)
\]

Теперь, чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы можем использовать метод разделения переменных. Разделим переменные:
\[
\frac{{dV(t)}}{{g - kV(t)}} = dt
\]

Интегрируем обе части уравнения:
\[
\int \frac{{dV(t)}}{{g - kV(t)}} = \int dt
\]

Левую часть можем проинтегрировать, используя замену переменной \(u = g - kV(t)\):
\[
-\frac{1}{k} \ln|g - kV(t)| = t + C
\]

Где \(C\) - константа интегрирования. Решим это уравнение относительно \(V(t)\):
\[
|g - kV(t)| = e^{-kt - Ck}
\]

Используем значение \(g - kV(t)\) без модуля, поскольку для скорости подъема вертолета она всегда будет положительной. Также заменим константу интегрирования на новую константу \(K\):
\[
g - kV(t) = e^{-kt}e^{-K}
\]

Разрешив уравнение относительно \(V(t)\), получаем:
\[
V(t) = \frac{g}{k} - \frac{1}{k}e^{-kt}e^{-K}
\]

Теперь мы можем определить скорость подъема вертолета в момент времени \(t\). Чтобы определить максимальную скорость подъема, возьмем предел этого выражения при \(t \to \infty\). Предел можно найти, если учесть, что когда \(t \to \infty\), \(e^{-kt}e^{-K}\) стремится к нулю, а значит последнее слагаемое также становится равным нулю.
\[
\lim_{{t \to \infty}} V(t) = \frac{g}{k}
\]

Таким образом, максимальная скорость подъема вертолета равна \(V_{\text{max}} = \frac{g}{k}\).

Ответ:
Скорость подъема вертолета в момент времени \(t\) равна \(V(t) = \frac{g}{k} - \frac{1}{k}e^{-kt}e^{-K}\). Максимальная скорость подъема равна \(V_{\text{max}} = \frac{g}{k}\).