Какова скорость подъема вертолета в момент времени t = t при вертикальном взлете из состояния покоя, если сила тяги

Для решения этой задачи нам понадобятся уравнения движения вертолета. Пусть скорость подъема вертолета в момент времени $t$ равна $V(t)$, а сила тяги винта равна $T(t)$. Вес вертолета обозначим как $mg$, где $m$ - масса вертолета, а $g$ - ускорение свободного падения. Тогда нам задано, что сила тяги винта превышает его вес в $n$ раз, следовательно, $T(t)=nmg$.

Также нам дано, что сопротивление воздуха пропорционально первой степени скорости и задается уравнением $R=-mkV(t)$, где $k$ - коэффициент пропорциональности.

Итак, уравнение движения вертолета в вертикальном направлении принимает вид:
$$mg-mkV(t)=m\frac{dV(t)}{dt}$$

Мы решим это дифференциальное уравнение для $V(t)$, чтобы определить скорость подъема вертолета в момент времени $t$.

Для начала перепишем уравнение в виде:
$$\frac{dV(t)}{dt}=g-kV(t)$$

Теперь, чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы можем использовать метод разделения переменных. Разделим переменные:
$$\frac{dV(t)}{g-kV(t)}=dt$$

Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dV(t)}{g-kV(t)}=\int dt$$

Левую часть можем проинтегрировать, используя замену переменной $u=g-kV(t)$:
$$-\frac{1}{k}\ln |g-kV(t)|=t+C$$

Где $C$ - константа интегрирования. Решим это уравнение относительно $V(t)$:
$$|g-kV(t)|=e^{-kt-Ck}$$

Используем значение $g-kV(t)$ без модуля, поскольку для скорости подъема вертолета она всегда будет положительной. Также заменим константу интегрирования на новую константу $K$:
$$g-kV(t)=e^{-kt}{e}^{-K}$$

Разрешив уравнение относительно $V(t)$, получаем:
$$V(t)=\frac{g}{k}-\frac{1}{k}{e}^{-kt}{e}^{-K}$$

Теперь мы можем определить скорость подъема вертолета в момент времени $t$. Чтобы определить максимальную скорость подъема, возьмем предел этого выражения при $t\to \mathrm{\infty }$. Предел можно найти, если учесть, что когда $t\to \mathrm{\infty }$, $e^{-kt}{e}^{-K}$ стремится к нулю, а значит последнее слагаемое также становится равным нулю.
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}V(t)=\frac{g}{k}$$

Таким образом, максимальная скорость подъема вертолета равна $V_{\text{max}}=\frac{g}{k}$.

Ответ:
Скорость подъема вертолета в момент времени $t$ равна $V(t)=\frac{g}{k}-\frac{1}{k}{e}^{-kt}{e}^{-K}$. Максимальная скорость подъема равна $V_{\text{max}}=\frac{g}{k}$.