Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если она проплывает 40 км против течения и возвращается обратно

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. Для начала, давайте обозначим неизвестную величину - скорость моторной лодки в стоящей воде - как \(v\). Также нам известно, что скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Итак, лодка проплывает расстояние 40 км против течения и возвращается обратно за 14 часов. Определите, сколько времени лодка тратит на одну часть пути - против течения и обратно. Пусть время, затраченное на против течения, равно \(t\) часов. Тогда время, затраченное на обратный путь, будет равно \(14 - t\) часов.

Для определения времени, затраченного на против течения, используем формулу времени:

\(\text{{расстояние}} = \text{{скорость}} \times \text{{время}}\)

На против течения: \(40 = (v - 3) \times t\)

Обратно: \(40 = (v + 3) \times (14 - t)\)

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Давайте решим ее.

1. Раскроем скобки во втором уравнении:

\(40 = (v + 3) \times 14 - (v + 3) \times t\)

2. Упростим уравнение:

\(40 = 14v + 42 - vt - 3t\)

3. Перегруппируем и объединим подобные члены:

\(14v - vt = 3t - 2\)

4. Теперь подставим значение \(40 = (v - 3) \times t\) из первого уравнения вместо \(v - 3\):

\(14v - (v - 3) \times t = 3t - 2\)

5. Раскроем скобки:

\(14v - vt + 3t = 3t - 2\)

6. Сократим \(3t\) по обе стороны уравнения:

\(14v - vt = -2\)

7. Перенесем все, что содержит \(v\) на одну сторону уравнения, а все, что не содержит \(v\), на другую:

\(14v - vt + vt = -2 + vt\)

8. Упростим:

\(14v = -2 + vt\)

9. Так как нам нужно найти скорость моторной лодки в стоящей воде, а не время, установим \(t = \frac{{40}}{{v - 3}}\) из первого уравнения:

\(14v = -2 + v \times \frac{{40}}{{v - 3}}\)

10. Умножим обе части уравнения на \((v - 3)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(14v(v - 3) = -2(v - 3) + 40v\)

11. Упростим и раскроем скобки:

\(14v^2 - 42v = -2v + 6 + 40v\)

12. Сгруппируем все члены с \(v\) на одну сторону уравнения, а все остальное на другую:

\(14v^2 - 42v - 40v + 2v - 6 = 0\)

13. Сложим и сократим подобные члены:

\(14v^2 - 80v - 6 = 0\)

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

14. Найдем \(D\):

\(D = (-80)^2 - 4 \times 14 \times (-6)\)

15. Вычислим \(D\):

\(D = 6400 + 336\)

\(D = 6736\)

Так как \(D > 0\), у нас есть два корня уравнения. Для нахождения этих корней, воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[v = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

где \(a = 14\), \(b = -80\), \(D = 6736\).

16. Найдем корни \(v_1\) и \(v_2\):

\[v_1 = \frac{{-(-80) + \sqrt{6736}}}{{2 \times 14}}\]

\[v_2 = \frac{{-(-80) - \sqrt{6736}}}{{2 \times 14}}\]

17. Упрощаем выражения:

\[v_1 = \frac{{80 + \sqrt{6736}}}{{28}}\]

\[v_2 = \frac{{80 - \sqrt{6736}}}{{28}}\]

Таким образом, мы получили два решения: \(v_1\) и \(v_2\).