Какова сила, действующая на тело в точке с координатами r (x, y), если потенциальная энергия зависит от координат

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для расчета силы, происходящей от потенциальной энергии \( F = -\frac{{dV}}{{dr}} \), где \( F \) - сила, \( V \) - потенциальная энергия, \( r \) - вектор радиус-вектора.

В данной задаче у нас есть потенциальная энергия \( V = k \ln(x^2+y^2) \), где \( k = 4 \times 10^{-5} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 \), \( x = 40 \, \text{см} \), \( y = 30 \, \text{см} \). Нам нужно найти силу, действующую на тело в точке с координатами \( r(x, y) \).

Для начала, мы должны вычислить производную \( \frac{{dV}}{{dr}} \) для нахождения силы. Затем, подставим значения \( k \), \( x \) и \( y \) в данное уравнение и найдем значение силы, действующей на тело.

Давайте проделаем эти шаги подробно:

1. Вычислим частную производную \(\frac{{dV}}{{dr}}\):
\[ \frac{{dV}}{{dr}} = \frac{{d}}{{dr}} (k \ln(x^2+y^2)) \]

Для вычисления этой производной, мы будем использовать правило дифференцирования композиции функций (цепное правило). Поскольку композицией является функция \(\ln(x^2+y^2)\), применим правило производной логарифма:
\[ \frac{{dV}}{{dr}} = k \cdot \frac{{1}}{{x^2+y^2}} \cdot \frac{{d}}{{dr}} (x^2+y^2) \]

Для производной \( \frac{{d}}{{dr}} (x^2+y^2) \) мы используем правило производной суммы:
\[ \frac{{dV}}{{dr}} = k \cdot \frac{{1}}{{x^2+y^2}} \cdot \left( \frac{{d}}{{dr}} x^2 + \frac{{d}}{{dr}} y^2 \right) \]

2. Вычислим производные \( \frac{{d}}{{dr}} x^2 \) и \( \frac{{d}}{{dr}} y^2 \):
\[ \frac{{d}}{{dr}} x^2 = 2x \cdot \frac{{dx}}{{dr}} \]
\[ \frac{{d}}{{dr}} y^2 = 2y \cdot \frac{{dy}}{{dr}} \]

Заметим, что \( dx = \frac{{dx}}{{dr}} \) и \( dy = \frac{{dy}}{{dr}} \), так как \( x \) и \( y \) являются координатами точки вдоль осей \( x \) и \( y \). Таким образом, получаем:
\[ \frac{{d}}{{dr}} x^2 = 2x \cdot dx \]
\[ \frac{{d}}{{dr}} y^2 = 2y \cdot dy \]

3. Подставим производные обратно в уравнение:
\[ \frac{{dV}}{{dr}} = k \cdot \frac{{1}}{{x^2+y^2}} \cdot \left( 2x \cdot dx + 2y \cdot dy \right) \]

4. Заменим значения \( k \), \( x \) и \( y \):
\[ \frac{{dV}}{{dr}} = 4 \times 10^{-5} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 \cdot \frac{{1}}{{(0.4 \, \text{м})^2 + (0.3 \, \text{м})^2}} \cdot \left( 2 \times 0.4 \, \text{м} \cdot dx + 2 \times 0.3 \, \text{м} \cdot dy \right) \]

5. Вычислим значение производной \( \frac{{dV}}{{dr}} \), заменив значения \( dx \) и \( dy \) нулями (поскольку у нас нет указаний о каком-либо конкретном направлении движения):
\[ \frac{{dV}}{{dr}} = 4 \times 10^{-5} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 \cdot \frac{{1}}{{(0.4 \, \text{м})^2 + (0.3 \, \text{м})^2}} \cdot \left( 2 \times 0.4 \, \text{м} \cdot 0 + 2 \times 0.3 \, \text{м} \cdot 0 \right) \]

Поскольку \( dx = dy = 0 \) в данном случае, значения в скобках будут равны нулю.

6. После упрощения, получаем значение силы \( F \):
\[ F = 0 \, \text{Н} \]

Таким образом, сила, действующая на тело в точке с координатами \( r(x, y) \) равна нулю. Это означает, что в данной точке тело находится в устойчивом равновесии.