Какова ширина горизонтальных частей рамки, если прямоугольная фотография вставлена в деревянную рамку, где ширина

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим ширину горизонтальных частей рамки как \( w \). Также пусть ширина вертикальных частей рамки будет равна \( \frac{w}{2} \).

Периметр фотографии составляет 30 см. У прямоугольника периметр вычисляется по формуле:

\[ P = 2(a + b) \]

Где \( a \) и \( b \) - это длины сторон прямоугольника. В нашем случае, давайте обозначим длину прямоугольника как \( a \) и ширину как \( b \). Так как у нас ширина вертикальных частей рамки вдвое меньше ширины горизонтальных, то \( b = 2w \). Заменим эти значения в формуле периметра:

\[ 30 = 2(a + 2w) \]

Теперь давайте рассмотрим внешний периметр рамки, который равен 54 см. Внешний периметр рамки можно выразить суммой длин всех сторон рамки. У нас есть две горизонтальные стороны, которые равны \( a + 2w \), и две вертикальные стороны, которые равны \( 2(w + \frac{w}{2}) \). Получаем следующее уравнение:

\[ 54 = 2(a + 2w) + 2\left(w + \frac{w}{2}\right) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
30 &= 2(a + 2w) \\
54 &= 2(a + 2w) + 2\left(w + \frac{w}{2}\right)
\end{align*}
\]

Решим эту систему пошагово. Разделим первое уравнение на 2:

\[ 15 = a + 2w \]

Подставим полученное значение для \( a \) во второе уравнение:

\[ 54 = 2(15) + 2\left(w + \frac{w}{2}\right) \]

Упростим выражение:

\[ 54 = 30 + 3w \]

Вычтем 30 с обеих сторон уравнения:

\[ 24 = 3w \]

Разделим обе части на 3:

\[ w = 8 \]

Таким образом, ширина горизонтальных частей рамки равна 8 см.