Какова разность между третьим и пятым членами геометрической прогрессии, если она составляет 1200? Какова разность

Давайте решим эти три задачи последовательно.

Задача 1: Какова разность между третьим и пятым членами геометрической прогрессии, если она составляет 1200?

Чтобы решить эту задачу, нам будет полезно знать формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии. Формула выглядит следующим образом:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

Где:
\(a_n\) - \(n\)-й член геометрической прогрессии
\(a_1\) - первый член геометрической прогрессии
\(r\) - знаменатель прогрессии
\(n\) - номер члена прогрессии

Дано, что разность между третьим и пятым членами прогрессии составляет 1200. Обозначим третий член как \(a_3\) и пятый член как \(a_5\). Таким образом, у нас есть следующее:

\(a_5 - a_3 = 1200\)

Используя формулу для \(n\)-го члена прогрессии, мы можем выразить \(a_3\) и \(a_5\):

\(a_3 = a_1 \cdot r^{(3-1)}\)
\(a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)}\)

Подставляя эти значения в исходное уравнение, получаем:

\(a_1 \cdot r^{(5-1)} - a_1 \cdot r^{(3-1)} = 1200\)

Упрощая это уравнение, получаем:

\(a_1 \cdot r^4 - a_1 \cdot r^2 = 1200\)

Вынесем общий множитель \(a_1\) за скобки:

\(a_1 \cdot (r^4 - r^2) = 1200\)

Теперь разделим обе части уравнения на \(r^2\):

\(a_1 \cdot (r^4 - r^2) / r^2 = 1200 / r^2\)

После сокращения получим:

\(a_1 \cdot (r^2 - 1) = 1200 / r^2\)

Теперь мы можем выразить \(r\) через \(a_1\) и решить уравнение относительно \(r\):

\(r = \sqrt{\frac{1200}{a_1 \cdot (r^2 - 1)}}\)

Найденное значение \(r\) позволит нам найти разность между третьим и пятым членами прогрессии:

\(a_5 - a_3 = a_1 \cdot r^4 - a_1 \cdot r^2\)

Воспользуемся найденным значением \(r\) исходя из уравнения, чтобы найти разность между третьим и пятым членами.

Задача 2: Какова разность между четвертым и пятым членами геометрической прогрессии, если она равна 1000?

Решение этой задачи будет аналогичным предыдущей. Дано, что разность между четвертым и пятым членами прогрессии равна 1000. Обозначим четвертый член как \(a_4\) и пятый член как \(a_5\). Тогда имеем:

\(a_5 - a_4 = 1000\)

Используя формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии, мы можем выразить \(a_4\) и \(a_5\):

\(a_4 = a_1 \cdot r^{(4-1)}\)
\(a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)}\)

Подставляя эти значения в исходное уравнение, получаем:

\(a_1 \cdot r^{(5-1)} - a_1 \cdot r^{(4-1)} = 1000\)

Упрощая это уравнение и вынося общий множитель \(a_1\) за круглые скобки, мы получаем:

\(a_1 \cdot (r^4 - r^3) = 1000\)

Теперь аналогично предыдущей задаче мы можем найти \(r\) и использовать его для вычисления разности между четвертым и пятым членами прогрессии.

Задача 3: Чему равна сумма первых пяти членов геометрической прогрессии?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{{a_1 \cdot (1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

Где:
\(S_n\) - сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии
\(a_1\) - первый член геометрической прогрессии
\(r\) - знаменатель прогрессии
\(n\) - количество членов прогрессии, для которых мы считаем сумму

В данном случае у нас \(n = 5\), поэтому мы можем вычислить сумму первых пяти членов прогрессии, используя эту формулу и значения \(a_1\) и \(r\), которые мы нашли в предыдущих задачах.