Какова работа, которую необходимо выполнить, чтобы вывести ракету массой 200 кг за пределы поля тяготения Земли, если

Для решения данной задачи нам понадобятся законы сохранения энергии и второго закона Ньютона. Для начала, давайте определимся с обозначениями:

\(M\) - масса Земли (около \(5.97 \times 10^{24}\) кг)
\(m\) - масса ракеты (200 кг)
\(r\) - радиус Земли (около \(6.37 \times 10^6\) м)
\(h\) - высота орбиты (500 км над поверхностью Земли, что равно \(h = r + 500000\) м)
\(G\) - гравитационная постоянная (\(G = 6.67 \times 10^{-11} м^3/кг \cdot с^2\))

Для выполнения задачи нам нужно найти работу, необходимую для вывода ракеты за пределы поля тяготения Земли. Работа определяется как изменение кинетической энергии системы:

\[W = \Delta KE\]

Кинетическая энергия состоит из двух компонентов: кинетической энергии переноса и кинетической энергии вращения. Однако, так как ракета движется по циркулярной орбите, мы можем сказать, что \(KE_{rotation} = 0\), так как вращение здесь отсутствует. Поэтому, мы можем записать:

\[W = KE_{trans}\]

Кинетическая энергия тела, движущегося в циркулярной орбите, определяется следующей формулой:

\[KE_{trans} = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(v\) - скорость ракеты на орбите. Чтобы найти скорость, воспользуемся законом всемирного тяготения - гравитационной силой, действующей на тело:

\[F = \frac{GMm}{r^2}\]

Скорость тела на орбите связана с радиусом орбиты и гравитационной константой следующим образом:

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]

Теперь мы можем вычислить кинетическую энергию переноса:

\[KE_{trans} = \frac{1}{2}m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right)^2\]

Подставим известные значения в формулу:

\[KE_{trans} = \frac{1}{2}(200) \left(\sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})}{(6.37 \times 10^6 + 500000)}}\right)^2\]

\[KE_{trans} \approx 1.077 \times 10^9 \, Дж\]

Таким образом, работа, которую необходимо выполнить, чтобы вывести ракету за пределы поля тяготения Земли, составляет около \(1.077 \times 10^9 \, Дж\).

Обратите внимание, что в данном решении мы использовали некоторые упрощения и приближения для упрощения вычислений.