Какова работа, которую необходимо выполнить, чтобы вывести ракету массой 200 кг за пределы поля тяготения Земли, если

Для решения данной задачи нам понадобятся законы сохранения энергии и второго закона Ньютона. Для начала, давайте определимся с обозначениями:

$M$ - масса Земли (около $5.97\times {10}^{24}$ кг)
$m$ - масса ракеты (200 кг)
$r$ - радиус Земли (около $6.37\times {10}^6$ м)
$h$ - высота орбиты (500 км над поверхностью Земли, что равно $h=r+500000$ м)
$G$ - гравитационная постоянная ($G=6.67\times {10}^{-11}{м}^3/кг\cdot {с}^2$)

Для выполнения задачи нам нужно найти работу, необходимую для вывода ракеты за пределы поля тяготения Земли. Работа определяется как изменение кинетической энергии системы:

$$W=\mathrm{\Delta }KE$$

Кинетическая энергия состоит из двух компонентов: кинетической энергии переноса и кинетической энергии вращения. Однако, так как ракета движется по циркулярной орбите, мы можем сказать, что $K{E}_{rotation}=0$, так как вращение здесь отсутствует. Поэтому, мы можем записать:

$$W=K{E}_{trans}$$

Кинетическая энергия тела, движущегося в циркулярной орбите, определяется следующей формулой:

$$K{E}_{trans}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

где $v$ - скорость ракеты на орбите. Чтобы найти скорость, воспользуемся законом всемирного тяготения - гравитационной силой, действующей на тело:

$$F=\frac{GMm}{r^2}$$

Скорость тела на орбите связана с радиусом орбиты и гравитационной константой следующим образом:

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Теперь мы можем вычислить кинетическую энергию переноса:

$$K{E}_{trans}=\frac{1}{2}m{\left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right)}^2$$

Подставим известные значения в формулу:

$$K{E}_{trans}=\frac{1}{2}(200){\left(\sqrt{\frac{(6.67\times {10}^{-11})(5.97\times {10}^{24})}{(6.37\times {10}^6+500000)}}\right)}^2$$

$$K{E}_{trans}\approx 1.077\times {10}^9Дж$$

Таким образом, работа, которую необходимо выполнить, чтобы вывести ракету за пределы поля тяготения Земли, составляет около $1.077\times {10}^9Дж$.

Обратите внимание, что в данном решении мы использовали некоторые упрощения и приближения для упрощения вычислений.