Какова производная функции y=x•sin2x-e^2x?

Хорошо, для начала рассмотрим функцию \(y = x \cdot \sin^2x - e^{2x}\) и найдем ее производную \(y"\).

Производная функции может быть найдена путем применения правил дифференцирования. Давайте применим эти правила к каждому слагаемому в нашей функции по очереди.

1. Рассмотрим слагаемое \(x \cdot \sin^2x\).

Используя правило производной произведения функций \(u \cdot v\), мы можем записать:

\((uv)" = u"v + uv"\)

В нашем случае, \(u = x\) и \(v = \sin^2x\). Теперь найдем производные \(u"\) и \(v"\).

\(u" = 1\) (производная постоянной равна нулю) и \(v" = (sinx)^2\)".

Чтобы найти производную \((\sin^2x)"\), мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Пусть \(u = \sin x\) и \(v = \sin x\). Затем применяем правило \(v^2 = \sin^2x\).
Тогда

\((uv)" = u"v + uv" = (\sin x)" \cdot \sin x + \sin x \cdot (\sin x)"\)

Производная \((\sin x)"\) равна \(\cos x\), а производная \((\sin x)"\) равна \(-\sin x\).

Таким образом, мы получаем:

\((\sin^2x)" = \cos x \cdot \sin x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos x \cdot \sin x - \sin^2x\).

Итак, мы имеем: \(x \cdot (\sin^2x)" = x \cdot (\cos x \cdot \sin x - \sin^2x)\).

2. Теперь рассмотрим слагаемое \(-e^{2x}\).

Для этого слагаемого мы можем использовать правило дифференцирования для экспоненциальной функции.
Пусть \(u = -e^{2x}\). Тогда

\(u" = (e^{2x})" = 2e^{2x}\).

Итак, мы получаем: \((-e^{2x})" = 2e^{2x}\).

Теперь, чтобы получить итоговую производную \(y"\), сложим производные каждого слагаемого:

\(y" = x \cdot (\cos x \cdot \sin x - \sin^2x) + 2e^{2x}\).

Таким образом, производная функции \(y=x \cdot \sin^2x - e^{2x}\) равна \(x \cdot (\cos x \cdot \sin x - \sin^2x) + 2e^{2x}\).

Я надеюсь, что этот пошаговый разбор производной поможет вам понять задачу лучше. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.