Какова производная функции f(x) = 1,5cos^2x - 5sin^3x?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Нам нужно найти производную функции \(f(x) = 1.5\cos^2x - 5\sin^3x\).

Шаг 1: Найдем производную первого слагаемого \(1.5\cos^2x\). Для этого мы используем правило дифференцирования функции с косинусом, которое гласит, что производная косинуса равна минус синусу. Также мы будем применять правило дифференцирования для сложной функции, учитывая, что \((\cos x)^2 = \cos^2 x\).

Дифференцируем первое слагаемое:
\[
\frac{d}{dx}(1.5\cos^2x) = 1.5 \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) = -3\sin x\cos x
\]

Шаг 2: Теперь найдем производную второго слагаемого \(-5\sin^3x\). Мы снова будем использовать правило дифференцирования функции синуса и правило дифференцирования для сложной функции.

Дифференцируем второе слагаемое:
\[
\frac{d}{dx}(-5\sin^3x) = -5 \cdot 3\sin^2x \cdot \cos x = -15\sin^2 x\cos x
\]

Шаг 3: Теперь найдем производную суммы двух слагаемых. Мы можем просто сложить производные каждого слагаемого:

\[
\frac{d}{dx}(1.5\cos^2x - 5\sin^3x) = -3\sin x\cos x - 15\sin^2 x\cos x
\]

Шаг 4: Упростим выражение, объединив общие члены:

\[
\frac{d}{dx}(1.5\cos^2x - 5\sin^3x) = -3\sin x\cos x - 15\sin^2 x\cos x = -\cos x(3\sin x + 15\sin^2 x)
\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = 1.5\cos^2x - 5\sin^3x\) равна \(-\cos x(3\sin x + 15\sin^2 x)\).

Я надеюсь, что этот подробный ответ помог вам понять процесс нахождения производной функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!