Какова полная поверхность правильной треугольной пирамиды, если периметр основания составляет 12, а апофема равна 6√3​?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Нам дано, что периметр основания пирамиды равен 12, а апофема равна \(6\sqrt{3}\). Чтобы найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды, нам нужно найти площадь треугольников основания и боковой поверхности и сложить их.

1. Найдём длину стороны основания треугольной пирамиды. Поскольку периметр равен 12, а основание — равносторонний треугольник, длина каждой стороны основания равна \(\frac{12}{3} = 4\).

2. Найдём площадь треугольника основания. Для правильного равностороннего треугольника площадь можно найти по формуле \(S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) — длина стороны треугольника. Подставляя \(a = 4\), получим \(S = \frac{{4^2 \sqrt{3}}}{4} = 4\sqrt{3}\).

3. Найдём высоту треугольной пирамиды. Высота одного из треугольников основания будет равна апофеме пирамиды, то есть \(6\sqrt{3}\).

4. Найдём площадь боковой поверхности. Для треугольной пирамиды площадь боковой поверхности можно найти по формуле \(S_{\text{бок}} = \frac{{\text{периметр}_{\text{основания}} \times \text{апофема}}}{2}\). Подставляя значения, получим \(S_{\text{бок}} = \frac{{12 \times 6\sqrt{3}}}{2} = 36\sqrt{3}\).

5. Найдём полную поверхность пирамиды. Полная поверхность равна сумме площади треугольника основания и площади боковой поверхности: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 4\sqrt{3} + 36\sqrt{3} = 40\sqrt{3}\).

Таким образом, полная поверхность правильной треугольной пирамиды равна \(40\sqrt{3}\).