Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, у которой основание представляет собой равнобедренный прямоугольный

Для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы с равнобедренным прямоугольным треугольником в основании, нам необходимо знать длину одного из катетов треугольника и его гипотенузу.

По условию задачи, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника составляет 18. Обозначим катет треугольника как \(x\), а его гипотенузу как \(h\).

Сначала найдем длину катета \(x\):

Мы знаем, что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \(S = \frac{{ab}}{2}\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

Подставляем известные значения в данную формулу:
\[18 = \frac{{x \cdot x}}{2}\]
\[36 = x^2\]
\[x = \sqrt{36}\]
\[x = 6\]

Теперь найдем высоту \(h\) треугольника:

Из равенства треугольников следует, что высота \(h\) будет равна половине длины основания \(x\).

\[h = \frac{x}{2}\]
\[h = \frac{6}{2}\]
\[h = 3\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы, нужно умножить периметр основания на высоту призмы.

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон. В данном случае, у треугольника один катет равен 6, а гипотенуза равна \(2 - \sqrt{6}\).

\[П = 6 + 6 + (2 - \sqrt{6})\]
\[П = 12 + 2 - \sqrt{6}\]
\[П = 14 - \sqrt{6}\]

Теперь можно найти площадь боковой поверхности призмы, умножив периметр на высоту:

\[S = П \cdot h\]
\[S = (14 - \sqrt{6}) \cdot 3\]
\[S = 42 - 3\sqrt{6}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы составляет \(42 - 3\sqrt{6}\).