Какова полная поверхность наклонной призмы с равнобедренным прямоугольным основанием, где гипотенуза треугольника

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется найти все боковые грани призмы и сложить их площади. Для начала, давайте определим размеры призмы.

Мы знаем, что гипотенуза треугольника, составляющего основание призмы, равна 8 см. Также, одна из боковых граней содержит эту гипотенузу. Это означает, что высота призмы будет равна 8 см.

Далее, нам нужно выяснить длину основания призмы. Мы знаем, что другое боковое ребро формирует углы 45 градусов с катетами нижнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный гипотенузой, одним катетом (длиной основания) и одним боковым ребром. Угол между гипотенузой и катетом равен 45 градусов, а длина гипотенузы равна 8 см. Рассчитаем длину катета:

\[
\text{{Длина катета}} = \frac{{\text{{Длина гипотенузы}}}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{8}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{8\sqrt{2}}}{{2}} = 4\sqrt{2} \, \text{{см}}
\]

Таким образом, размеры нашей призмы: высота — 8 см и длина основания — 4√2 см.

Теперь рассмотрим боковые грани призмы. Поскольку призма имеет равнобедренное прямоугольное основание, то две боковые грани будут прямоугольные треугольники, а две другие боковые грани будут прямоугольные трапеции.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2} \times \text{{основание}} \times \text{{высота}}\). Для каждого треугольника основание будет равно 4√2 см, а высота равна 8 см. Таким образом, площадь каждого треугольника будет: \(S_{\text{{треугольника}}} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 8 = 16\sqrt{2} \, \text{{см}}^2\).

Площадь прямоугольной трапеции можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2} \times (\text{{сумма оснований}}) \times \text{{высота}}\). Для каждой трапеции одно основание будет равно 4√2 см, а другое основание будет равно 8 см (основание призмы). Высота для обеих трапеций будет равна 8 см. Таким образом, площадь каждой трапеции будет: \(S_{\text{{трапеции}}} = \frac{1}{2} \times (4\sqrt{2} + 8) \times 8 = 32 + 16\sqrt{2} \, \text{{см}}^2\).

Теперь можем найти полную поверхность наклонной призмы, сложив площади всех боковых граней:

\[
S_{\text{{полная поверхность}}} = 2 \times S_{\text{{треугольника}}} + 2 \times S_{\text{{трапеции}}}
\]

\[
S_{\text{{полная поверхность}}} = 2(16\sqrt{2}) + 2(32 + 16\sqrt{2}) = 32\sqrt{2} + 64 + 32\sqrt{2} = 64 + 64\sqrt{2} \, \text{{см}}^2
\]

Итак, полная поверхность наклонной призмы с равнобедренным прямоугольным основанием равна \(64 + 64\sqrt{2} \, \text{{см}}^2\).