Какова полная поверхность цилиндра, учитывая следующие условия: Из точки B1 на окружности верхнего основания проведены

Угол между проекциями отрезков B1A и B1C на нижнем основании цилиндра равен углу B1OC. Этот угол является вписанным углом дуги BC окружности нижнего основания цилиндра. Вписанный угол равен половине соответствующей дуги. Поэтому угол B1OC равен углу BAC. Обозначим этот угол как α.

Рассмотрим прямоугольный треугольник B1OC. Угол B1OC равен α, а длина гипотенузы B1A равна a. Мы знаем, что отрезок B1A является диагональю, поэтому он делит прямоугольный треугольник B1OC на два прямоугольных треугольника.

Найдем длину стороны B1O. Сторона B1O является катетом прямоугольного треугольника B1OC. Мы можем найти ее, используя тригонометрические соотношения.

\[ \sin(\alpha) = \frac{{B1O}}{{B1A}} \]

Так как у нас дана длина гипотенузы B1A, мы можем выразить B1O через a и sin(α):

\[ B1O = B1A \cdot \sin(\alpha) = a \cdot \sin(\alpha) \]

Теперь найдем высоту треугольника B1OC, обозначим ее как h. Высота треугольника B1OC является другим катетом прямоугольного треугольника B1OC.

\[ \cos(\alpha) = \frac{{B1O}}{{h}} \]

Мы можем выразить h через B1O и cos(α):

\[ h = \frac{{B1O}}{{\cos(\alpha)}} = \frac{{a \cdot \sin(\alpha)}}{{\cos(\alpha)}} \]

Итак, мы нашли длину стороны B1O и высоту h прямоугольного треугольника B1OC. Теперь мы можем найти площадь этого треугольника, которая будет равна половине произведения длины стороны B1O и высоты h.

\[ S_{B1OC} = \frac{1}{2} \cdot B1O \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Для нахождения полной поверхности цилиндра нам нужно учитывать два верхних и нижнее основание, а также боковую поверхность, которая представляет собой прямоугольник с длиной стороны, равной окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра.

Площадь верхнего и нижнего основания равна площади окружности и вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 \]

где r - радиус окружности.

Площадь боковой поверхности равна произведению окружности основания на высоту цилиндра:

\[ S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot h \]

где h - высота цилиндра.

Общая площадь поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{пов}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]

Подставив значения площади основания и боковой поверхности, получим:

\[ S_{\text{пов}} = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot h \]