Какова плотность планеты, если ее радиус составляет 4 * 10^8 м? Спутник движется по орбите с радиусом 6209

Для решения задачи о плотности планеты нам понадобятся формулы, связанные с законом всемирного тяготения и центробежной силой.

Первым шагом нам нужно найти массу планеты, используя информацию о спутнике. Мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения для этой цели. Формула закона всемирного тяготения выглядит следующим образом:

\[ F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где F - сила гравитации, G - гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы тел, \( r \) - расстояние между телами.

В данном случае у нас есть спутник, движущийся по орбите планеты. Мы знаем радиус орбиты спутника \( r = 6209 \) м и скорость спутника \( v = 40 \) км/с. Для определения массы планеты воспользуемся данной информацией. Выходит, что центробежная сила, действующая на спутник, является гравитационной силой:

\[ F = \frac{{m \cdot v^2}}{r} \]

где \( m \) - масса планеты.

Заметим, что мы можем сократить массу спутника \( m \), так как нас интересует масса планеты.

Приравняем два выражения для сил:

\[ \frac{{m \cdot v^2}}{r} = G \cdot \frac{{m \cdot m_2}}{r^2} \]

Перенесем все неизвестные влево и избавимся от р и m:

\[ m \cdot \left( \frac{{v^2}}{r} - \frac{{G \cdot m_2}}{r^2} \right) = 0 \]

Теперь заметим, что у нас в скобках стоят величины, зависящие от исходных данных и констант. Поэтому данное выражение равно нулю только при условии:

\[ \frac{{v^2}}{r} - \frac{{G \cdot m_2}}{r^2} = 0 \]

Теперь найдем массу планеты \( m \). Перенесем \( \frac{{G \cdot m_2}}{r^2} \) вправо, перевернув знак:

\[ \frac{{v^2}}{r} = \frac{{G \cdot m_2}}{r^2} \]

Домножим обе части на \( r^2 \):

\[ v^2 \cdot r = G \cdot m_2 \]

Теперь, зная значения \( v = 40 \) км/с и \( r = 6209 \) м, а также значение гравитационной постоянной \( G = 6.674 \times 10^{-11} \) м^3 / (кг \cdot с^2), можем найти массу \( m_2 \) планеты:

\[ m_2 = \frac{{v^2 \cdot r}}{{G}} \]

Подставив значения, получим:

\[ m_2 = \frac{{(40 \, \text{км/с})^2 \cdot (6209 \, \text{м})}}{{6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 / (\text{кг} \cdot \text{с}^2)}} \]

Чтобы получить ответ в килограммах, нужно перевести километры в метры:

\[ m_2 = \frac{{(40000 \, \text{м/с})^2 \cdot (6209 \, \text{м})}}{{6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 / (\text{кг} \cdot \text{с}^2)}} \]

После подсчета данного выражения получаем значение массы планеты \( m_2 \).

Теперь, чтобы найти плотность, воспользуемся формулой плотности:

\[ \rho = \frac{{m_2}}{{\frac{4}{3} \pi r^3}} \]

где \( \pi \) - математическая константа, равная приблизительно 3.14159.

Вставив значения массы \( m_2 \) и радиуса \( r = 4 \times 10^8 \) м, можно рассчитать плотность планеты \( \rho \).

Вот такими шагами мы можем получить подробный ответ на задачу о плотности планеты. Не забывайте, что значения должны быть подставлены с учетом соответствующих размерностей, иначе ответ будет некорректным.