Какова площадь треугольника, образованного точками A, C и E, внутри правильного шестиугольника ABCDEF с радиусом

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание о свойствах правильных шестиугольников и вычислении площади треугольника. Начнем с определения и свойств правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник - это многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны. Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
где \(a\) - основание треугольника, а \(h\) - высота треугольника.

Теперь обратимся к задаче и разбросаем наши знания. Мы имеем правильный шестиугольник ABCDEF с радиусом вписанной окружности, равным 1. Мы должны найти площадь треугольника, образованного точками A, C и E.

Отметим, что середины сторон правильного шестиугольника являются вершинами вписанного треугольника. Обозначим точки середин сторон шестиугольника как M1, M2, M3, M4, M5, M6. Тогда треугольники AM1C, CM2E и EM6A будут равнобедренными, поскольку они являются треугольниками с одной общей стороной и с радиусом вписанной окружности, равным 1.

Поскольку в равнобедренном треугольнике высота перпендикулярна к основанию и проходит через его середину, основание AM1 равно длине стороны шестиугольника. Так же и для остальных трех равнобедренных треугольников - CM2E и EM6A - их основания равны длине стороны шестиугольника.

Тогда длина основания AM1 равна длине стороны шестиугольника, то есть \(AM1 = BC\). Таким образом, площадь треугольника AM1C будет равна:
\[S_{AM1C} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{AM1C}\]
где \(h_{AM1C}\) - высота треугольника AM1C.

Аналогично, площади треугольников CM2E и EM6A можно найти аналогичным образом.

Теперь обратимся к равнобедренному треугольнику AM1C. Опишем вокруг него окружность с центром на стороне \(BC\). Радиус этой окружности будет равен половине высоты треугольника \(h_{AM1C}\).

Обозначим этот радиус как \(r_{AM1C}\). Тогда площадь треугольника \(S_{AM1C}\) можно переписать в виде:
\[S_{AM1C} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r_{AM1C} = \frac{1}{2} \cdot r_{AM1C} \cdot BC\]

Теперь заметим, что треугольник AM1C является одной из шести равнобедренных треугольников, которые образуют правильный шестиугольник. Следовательно, площадь всего правильного шестиугольника будет равна сумме площадей всех равнобедренных треугольников.

Так как у нас шестиугольник, можно записать:
\[S_{ABCDEF} = 6 \cdot S_{AM1C}\]

Осталось только выразить \(BC\) через радиус вписанной окружности.

Проведем высоту из вершины А к стороне BC. Эта высота будет являться половиной длины радиуса вписанной окружности, то есть будет равна \(\frac{1}{2}\).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АХС, где Х - середина стороны М1М2, имеем:
\[BC = AC = 2 \cdot AX = 2 \cdot \sqrt{AM1^2 - (XS)^2}\]

Так как \(\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), и \(XS = \frac{1}{2}\), то
\[BC = 2 \cdot \sqrt{AM1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 \cdot \sqrt{3 - \frac{1}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{11}{4}} = \sqrt{11}\]

Теперь можем вычислить площадь треугольника AM1C используя известные значения:
\[S_{AM1C} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{11} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{11}}{4}\]

Чтобы найти площадь всего шестиугольника, умножим \(S_{AM1C}\) на 6:
\[S_{ABCDEF} = 6 \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3\sqrt{11}}{2}\]

Итак, площадь треугольника, образованного точками A, C и E, внутри правильного шестиугольника ABCDEF с радиусом вписанной окружности, равным 1, составляет \(\frac{3\sqrt{11}}{2}\) данный ответ дан в виде числа в представлении с корнем.