Какова площадь треугольника KLM, если известно, что KL = 7 см, LM = 8 см и угол L равен 120°? 2. Каков периметр

1. Для нахождения площади треугольника KLM, нам понадобится знание формулы для площади треугольника. Формула для нахождения площади треугольника известна как "половина произведения длины основания на высоту". Однако, в данной задаче у нас нет информации о высоте треугольника, поэтому нам нужно использовать другой подход.

2. Мы можем использовать формулу площади треугольника, которая основана на длинах сторон и угле между ними. Эта формула называется "формулой синусов". Она говорит нам, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон, умноженного на синус угла между ними.

3. В нашем случае, у нас есть стороны KL и LM, и угол L между ними равен 120°. Мы можем подставить эти значения в формулу синусов и решить задачу.

4. Формула синусов для нахождения площади треугольника выглядит следующим образом:

\[ Площадь = \frac{1}{2} \times KL \times LM \times \sin L \]

5. Подстановка значений:

\[ Площадь = \frac{1}{2} \times 7 \times 8 \times \sin 120° \]

6. Для вычисления синуса 120° нам понадобится таблица значений тригонометрических функций. Согласно таблице, синус 120° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

7. Подставляем значение синуса в формулу:

\[ Площадь = \frac{1}{2} \times 7 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]

8. Вычисляем:

\[ Площадь = 28 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]

9. Упрощаем:

\[ Площадь = 14\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь треугольника KLM равна \(14\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Теперь перейдем ко второй части задачи:

1. Для нахождения периметра треугольника KLM, нам нужно сложить длины всех его сторон.

2. В нашем случае, у нас есть стороны KL и LM, и мы можем использовать эти значения для вычисления периметра.

3. Периметр равен сумме длин всех сторон треугольника:

\[ Периметр = KL + LM + KM \]

4. Подставляем известные значения:

\[ Периметр = 7 + 8 + KM \]

5. Чтобы найти длину стороны KM, нам нужно использовать теорему косинусов. Эта теорема говорит нам, что квадрат длины стороны KM равен сумме квадратов длин двух других сторон, уменьшенной на удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними.

6. Формула косинусов выглядит следующим образом:

\[ KM^2 = KL^2 + LM^2 - 2 \times KL \times LM \times \cos L \]

7. Подставляем значения:

\[ KM^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos 120° \]

8. Для вычисления косинуса 120° нам также понадобится таблица значений тригонометрических функций. Согласно таблице, косинус 120° равен \(-\frac{1}{2}\).

9. Подставляем значение косинуса в формулу:

\[ KM^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \]

10. Вычисляем:

\[ KM^2 = 49 + 64 + 56 = 169 \]

11.Находим корень из обеих сторон уравнения:

\[ KM = \sqrt{169} = 13 \]

12. Подставляем значение KM в формулу периметра:

\[ Периметр = 7 + 8 + 13 \]

13. Вычисляем:

\[ Периметр = 28 \]

Таким образом, периметр треугольника KLM равен 28 сантиметрам.