Какова площадь треугольника, если в треугольнике ABC проведена медиана BD, угол ABC равен 135 градусов, и окружность

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Построение

Нарисуем треугольник ABC и проведем медиану BD. Построим также окружность радиуса r, описанную около треугольника BCD. Убедимся, что окружность касается прямой AC.

Шаг 2: Определение точек касания

Обозначим точку касания окружности и прямой как E. Так как окружность описывает треугольник BCD, то угол BDC равен 90 градусов. Также, по свойству касательной, угол BDE также равен 90 градусов. Значит, треугольник BDE прямоугольный.

Шаг 3: Расчет площади треугольника

Мы знаем, что медиана BD делит треугольник на два равных треугольника. Поэтому площади треугольников ABD и CBD равны между собой. Обозначим площадь треугольника ABD как S.

Также, мы можем заметить, что треугольники ABE и CBE похожи, так как они имеют общий угол B, и у них одинаковое отношение сторон (катеты BAE и BCE также равны, так как являются радиусами окружности). Следовательно, отношение площадей треугольников ABE и CBE равно квадрату этого отношения сторон. Обозначим это отношение как k.

Теперь мы можем записать следующее соотношение:
S = k * S

На самом деле, k = BE / CE = BC / AC, так как BE и CE являются радиусами окружности.

Теперь мы имеем систему уравнений:
S = k * S
BC / AC = k

Решая эту систему уравнений, получаем:
S = (BC / AC)^2 * S

Шаг 4: Расчет площади треугольника

Теперь нам нужно выразить BC и AC через известные данные задачи.

У нас есть угол ABC, который равен 135 градусов. Поскольку медиана BD делит треугольник на два равных треугольника, угол BDC равен 90 градусов. Значит, угол BAC равен 45 градусов.

Также, у нас радиус окружности r, описанной около треугольника BCD. По свойству описанной окружности, BD является диаметром этой окружности. Значит, BD = 2r.

Шаг 5: Расчет площади треугольника

Мы можем выразить BC и AC с использованием тригонометрического соотношения для треугольника BAC.

Угол BAC = 45 градусов, a BD = 2r.

Так как BD является медианой, он делит стороны треугольника на две равные части. Значит, BC = AC.

Также, мы знаем, что тангенс угла равен противоположному катету, деленному на прилежащий катет. В нашем случае,
тангенс угла BAC = BC / (AC / 2) = 2BC/AC.

Зная, что тангенс 45 градусов равен 1, мы можем записать:
1 = 2BC/AC.

Решая это уравнение, получаем:
BC = AC/2.

Таким образом, мы можем заменить BC в нашем изначальном уравнении.

S = (BC / AC)^2 * S = ((AC/2) / AC)^2 * S = (1/4) * S

Таким образом, площадь треугольника равна четверти площади треугольника ABD.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна четверти площади треугольника ABD.