Какова площадь треугольника, если один из его углов составляет 60°, а его заключающие стороны имеют длину 10

Чтобы найти площадь треугольника, нам понадобится знание формулы для вычисления площади треугольника по длинам сторон и углу между ними.

Формула для вычисления площади треугольника по длинам сторон и углу между ними называется формулой полупериметра и площади Герона. Она выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, а \(p\) - полупериметр треугольника, равный \((a + b + c) / 2\).

В данной задаче известно, что один из углов треугольника составляет 60° и его заключающие стороны имеют длину 10. Давайте обозначим длины сторон треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), где стороны \(a\) и \(b\) равны 10, а сумма всех сторон равна \(a + b + c\).

Теперь можно вычислить полупериметр треугольника:

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + c}{2} = \frac{20 + c}{2} = 10 + \frac{c}{2}\]

Затем подставим значение полупериметра в формулу площади Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{\left(10 + \frac{c}{2}\right)\left(\left(10 + \frac{c}{2}\right) - 10\right)\left(\left(10 + \frac{c}{2}\right) - 10\right)\left(\left(10 + \frac{c}{2}\right) - c\right)}\]

Далее приведем формулу к более простому виду:

\[S = \sqrt{\left(10 + \frac{c}{2}\right)\left(\frac{c}{2}\right)\left(\frac{c}{2}\right)\left(\frac{c}{2}\right)} = \sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^4} = \frac{c^2}{4}\]

Таким образом, площадь треугольника равна \(\frac{c^2}{4}\).

Однако, чтобы решить задачу полностью, нам нужно найти значение стороны \(c\). Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольников:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle ACB)\]

В нашем случае угол \(\angle ACB\) равен 60°, а стороны \(a\) и \(b\) равны 10. Подставим известные значения:

\[c^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(60°) = 100 + 100 - 200 \cdot \frac{1}{2} = 200 - 100 = 100\]

Корень квадратный из 100 равен 10. Поэтому значение стороны \(c\) равно 10.

Теперь, когда мы знаем значение стороны \(c\), мы можем вычислить площадь треугольника:

\[S = \frac{c^2}{4} = \frac{10^2}{4} = \frac{100}{4} = 25\]

Таким образом, площадь треугольника равна 25 квадратным единицам.