Сколько различных плоскостей можно провести через 8 точек в пространстве? Условия: ни три точки не находятся на одной

Чтобы решить данную задачу, давайте вначале разберемся с условиями. У нас есть 8 точек в пространстве, и нам нужно провести плоскости через эти точки таким образом, чтобы ни три точки не находились на одной прямой и ни четыре точки не лежали в одной плоскости.

Для начала, давайте рассмотрим, сколько плоскостей можно провести через 3 точки. Мы знаем, что в плоскости нужны минимум 3 точки, чтобы задать ее. Таким образом, мы можем выбрать любые 3 точки из 8 имеющихся. Итак, общее количество плоскостей, которые можно провести через 3 точки, равно количеству сочетаний из 8 по 3, что записывается как \(\binom{8}{3}\) и вычисляется следующим образом:

\[\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\]

Теперь, чтобы рассчитать количество плоскостей, которые можно провести через 4 точки, нам нужно учесть, что ни одна из точек не должна находиться на одной прямой с другими тремя точками. Если мы возьмем 4 точки из имеющихся 8, будем иметь \(\binom{8}{4}\) возможных комбинаций. Однако, некоторые из этих комбинаций будут состоять из 4 точек, лежащих в одной плоскости. Чтобы исключить такие комбинации, нам нужно проверить, не лежат ли они в одной плоскости. Если они все лежат в одной плоскости, мы отбрасываем эту комбинацию. Таким образом, количество плоскостей, которые можно провести через 4 точки, равно разности \(\binom{8}{4}\) и числа комбинаций, в которых все 4 точки лежат в одной плоскости.

Для того чтобы посчитать количество комбинаций, в которых все 4 точки лежат в одной плоскости, нам нужно выбрать плоскость, а затем 4 точки из этой плоскости. Мы также знаем, что требуется минимум 3 точки для определения плоскости. Таким образом, у нас есть 7 доступных плоскостей (полученных путем выбора трех точек из 8), и для каждой из этих плоскостей существует \(\binom{3}{3}\) = 1 способ выбрать 4 точки. В итоге, мы имеем 7 комбинаций, где все 4 точки лежат в одной плоскости.

Таким образом, количество комбинаций, в которых 4 точки лежат в одной плоскости, равно 7. Так как нам нужно найти количество плоскостей, которые можно провести через 4 точки, мы должны вычесть это число из \(\binom{8}{4}\):

\(\binom{8}{4} - 7 = \frac{8!}{4!(8-4)!} - 7 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} - 7 = 70 - 7 = 63\)

Итак, количество различных плоскостей, которые можно провести через 8 точек в пространстве, составляет 63.