Какова площадь треугольника ADK в параллелограмме ABCD, если на сторонах ABAB и CDCD отмечены точки FF

Чтобы найти площадь треугольника ADK в параллелограмме ABCD, нам понадобится использовать информацию об отношениях площадей треугольников AKF, FLB и EKFL.

Для начала, обозначим площади треугольников AKF, FLB и EKFL, соответственно, через S1, S2 и S3.

Отношение площадей треугольников AKF, FLB и EKFL даны и равны 5, 16 и 14 соответственно. Это означает, что:

\(\frac{{S1}}{{S2}} = 5\),
\(\frac{{S2}}{{S3}} = 16\) и
\(\frac{{S1+S3}}{{S2}} = 14\).

Необходимо сначала найти значение S1, S2 и S3, чтобы найти площадь треугольника ADK.

Для этого воспользуемся системой уравнений для отношений площадей:

\(\frac{{S1}}{{S2}} = 5\),
\(\frac{{S2}}{{S3}} = 16\) и
\(\frac{{S1+S3}}{{S2}} = 14\).

Давайте решим эту систему по шагам. Умножим первое уравнение на S2:

\(S1 = 5S2\).

Теперь подставим это значение S1 в третье уравнение:

\(\frac{{5S2+S3}}{{S2}} = 14\).

Раскроем скобки и упростим:

\(5 + \frac{{S3}}{{S2}} = 14\).

Вычтем 5 из обеих сторон:

\(\frac{{S3}}{{S2}} = 9\).

Умножим это уравнение на S2:

\(S3 = 9S2\).

Теперь мы имеем значения S1 = 5S2 и S3 = 9S2.

Нам также дано, что S1, S2 и S3 - это отношения площадей треугольников AKF, FLB и EKFL к площади параллелограмма ABCD соответственно.

Сумма площадей треугольников AKF и EKFL должна быть равна площади параллелограмма ABCD:

\(S1 + S3 = S_{\text{параллелограмма}}\).

Еще раз подставим значения S1 и S3:

\(5S2 + 9S2 = S_{\text{параллелограмма}}\).

Упростим:

\(14S2 = S_{\text{параллелограмма}}\).

Теперь у нас есть выражение для площади параллелограмма ABCD через S2. Выразим S2 через площадь параллелограмма:

\(S2 = \frac{{S_{\text{параллелограмма}}}}{{14}}\).

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ADK, умножим S2 на 14:

\(S_{\text{треугольника ADK}} = \frac{{S_{\text{параллелограмма}}}}{{14}} \cdot 14\).

14 сокращается, тогда:

\(S_{\text{треугольника ADK}} = S_{\text{параллелограмма}}\).

Площадь треугольника ADK равна площади параллелограмма ABCD.