Каково соотношение объемов конуса и шара, если диаметр шара равен высоте конуса и угол между образующей конуса

Хорошо! Для решения этой задачи будем использовать геометрические свойства конуса и шара.

Дано, что диаметр шара равен высоте конуса. Возьмем это значение и обозначим его символом \(d\).

По условию, угол между образующей конуса и плоскостью его основания составляет 60 градусов. Здесь нам пригодится свойство высоты равнобедренной трапеции, которое говорит о том, что образующая конуса является высотой равнобедренной трапеции, проведенной к меньшему основанию.

Из этого следует, что верхнее основание конуса и основание трапеции равны. Поскольку диаметр шара равен высоте конуса, то и диаметр верхнего основания конуса равен \(d\).

Теперь перейдем к соотношению объемов конуса и шара. Объем шара равен \(\frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) - радиус шара.

Радиус шара равен половине диаметра, то есть \(\frac{d}{2}\).

Объем конуса равен \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Радиус основания конуса равен половине диаметра, то есть \(\frac{d}{2}\).

Таким образом, объем шара равен \(\frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3\), а объем конуса равен \(\frac{1}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 d\).

Упростим эти выражения:

Объем шара: \(\frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} = \frac{\pi d^3}{6}\)

Объем конуса: \(\frac{1}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 d = \frac{1}{3}\pi \frac{d^2}{4} d = \frac{\pi d^3}{12}\)

Таким образом, соотношение объемов конуса и шара равно \(\frac{\pi d^3}{6} : \frac{\pi d^3}{12}\).

Упростим это соотношение:

\(\frac{\pi d^3}{6} : \frac{\pi d^3}{12} = \frac{\pi d^3}{6} \cdot \frac{12}{\pi d^3} = \frac{2}{1}\).

Таким образом, объем конуса в два раза больше объема шара.

Пожалуйста, запишите это соотношение в вашей тетради и сфотографируйте для сохранения записи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь школьникам в их учебе!