Какова площадь трапеции с основаниями 18 и 6, боковой стороной 7 и углом 150 градусов между одним из оснований

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её основания и высоту. Начнем с определения высоты трапеции. Для этого нам понадобятся боковая сторона и угол между одним из оснований и боковой стороной.

Дана трапеция с основаниями 18 и 6, боковой стороной 7 и углом 150 градусов между одним из оснований и боковой стороной.

1. Нарисуем трапецию и обозначим известные стороны и угол:

\[
\begin{array}{c}
\text{{ A ------- B}} \\
\text{{ / \}} \\
\text{{D ------- C}} \\
\end{array}
\]

В данном случае: AB = 18, DC = 6, BC = 7 и угол BCD = 150 градусов.

2. Обозначим точку O — точку пересечения диагоналей AC и BD.

3. Разберемся, как определить высоту трапеции. Посмотрим на треугольник BCD. Мы знаем сторону BC (7) и угол BCD (150 градусов).

Для определения высоты трапеции сначала найдем длину одной из диагоналей.

4. Воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике BCD, чтобы найти длину диагонали BD:

\[
BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(150^\circ)
\]

Подставим известные значения:

\[
BD^2 = 7^2 + 6^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos(150^\circ)
\]

5. Вычислим значение \(\cos(150^\circ)\):

\(\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставим полученное значение в формулу:

\[
BD^2 = 7^2 + 6^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

\[
BD^2 = 49 + 36 + 42\sqrt{3} = 85 + 42\sqrt{3}
\]

6. Теперь найдем длину второй диагонали AC. Мы знаем, что точка O - середина стороны AB, а также что AO = \(\frac{AB}{2}\). Значит, AO = \(\frac{18}{2} = 9\).

7. Для нахождения AC воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ADO:

\[
AC^2 = AO^2 + OD^2
\]

\[
AC^2 = 9^2 + \left(\frac{DC - BD}{2}\right)^2
\]

\[
AC^2 = 9^2 + \left(\frac{6 - \sqrt{85 + 42\sqrt{3}}}{2}\right)^2
\]

8. Выполним вычисления:

\[
AC^2 = 81 + \left(\frac{6 - \sqrt{85 + 42\sqrt{3}}}{2}\right)^2
\]

\[
AC^2 = 81 + \left(\frac{6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{85 + 42\sqrt{3}} + 85 + 42\sqrt{3}}{4}\right)
\]

\[
AC^2 = 81 + \frac{36 - 12\sqrt{85 + 42\sqrt{3}} + 85 + 42\sqrt{3}}{4}
\]

\[
AC^2 = 81 + \frac{121 + 30\sqrt{3} - 12\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}}{4}
\]

\[
AC^2 = \frac{121 + 30\sqrt{3} - 12\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}}{4} + \frac{324}{4}
\]

\[
AC^2 = \frac{121 + 30\sqrt{3} - 12\sqrt{85 + 42\sqrt{3}} + 324}{4}
\]

\[
AC^2 = \frac{1225 + 30\sqrt{3} - 12\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}}{4}
\]

\[
AC^2 = 306.25 + 7.5\sqrt{3} - 3\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}
\]

9. Теперь найдем высоту h. Поскольку точка O является серединой стороны AB, то h - это высота треугольника BCD. Мы можем использовать треугольник BCD для нахождения высоты трапеции.

Сначала найдем площадь треугольника BCD:

\[
\text{Площадь}\ \triangle BCD = \frac{1}{2} \text{BC} \cdot \text{h}
\]

Подставим известные значения:

\[
\text{Площадь}\ \triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot h
\]

\[
\text{Площадь}\ \triangle BCD = \frac{7h}{2}
\]

Также мы можем выразить площадь \(\triangle BCD\) через длину основания и высоту \(\triangle BCD\):

\[
\text{Площадь}\ \triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BD \cdot \sin(\angle BCD)
\]

Подставим известные значения:

\[
\text{Площадь}\ \triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{85 + 42\sqrt{3}} \cdot \sin(150^\circ)
\]

\[
\text{Площадь}\ \triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{85 + 42\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
\text{Площадь}\ \triangle BCD = \frac{3}{2}\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}
\]

Таким образом, мы получили два выражения для площади треугольника BCD:

\[
\frac{7h}{2} = \frac{3}{2}\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}
\]

10. Значит, высота трапеции равна:

\[
h = \frac{3}{7}\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}
\]

11. Теперь, когда у нас есть высота и основания трапеции, мы можем найти её площадь:

\[
\text{Площадь трапеции} = \frac{AB + DC}{2} \cdot h
\]

Подставим известные значения:

\[
\text{Площадь трапеции} = \frac{18 + 6}{2} \cdot \frac{3}{7}\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}
\]

Упростим:

\[
\text{Площадь трапеции} = \frac{24}{2} \cdot \frac{3}{7}\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}
\]

\[
\text{Площадь трапеции} = 12 \cdot \frac{3}{7}\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}
\]

\[
\text{Площадь трапеции} = \frac{36}{7}\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}
\]

Таким образом, площадь данной трапеции равна \(\frac{36}{7}\sqrt{85 + 42\sqrt{3}}\) квадратных единиц.