Если в треугольнике ABC сторона AB равна 6√2 см, а cos⁡∠C равен 1/3, то какова длина радиуса окружности, описанной

Чтобы найти длину радиуса окружности, описанной вокруг треугольника ABC, мы можем использовать формулу, которая связывает радиус окружности с длинами сторон треугольника. Формула эта такая:

\[R = \frac{abc}{4S},\]

где R - радиус окружности, a, b и c - длины сторон треугольника, а S - его площадь.

Для начала нам нужно найти длины оставшихся сторон треугольника ABC. У нас уже есть длина стороны AB, равная \(6\sqrt{2}\) см.

Посмотрим на угол C. Мы знаем, что cos⁡∠C = 1/3. Так как косинус является отношением прилежащего катета к гипотенузе, мы можем представить стороны треугольника ABC используя это отношение.

Давайте представим, что сторона AB - это гипотенуза, и сторона BC (противолежащая углу C) - это прилежащий катет. Тогда использование тригонометрического соотношения для косинуса угла C позволит нам выразить сторону BC.

Мы знаем, что
\[\cos⁡C = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{3}.\]

Для определения длины стороны BC, умножим обе стороны на AB и получим:
\[BC = \frac{AB}{3} = \frac{6\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2} \text{ см}.\]

Теперь у нас есть длины двух сторон треугольника: AB = \(6\sqrt{2}\) см и BC = \(2\sqrt{2}\) см. Остается найти длину стороны AC.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Так как треугольник ABC является прямоугольным с углом C, стороны AB и BC являются катетами, а сторона AC - гипотенузой.

Мы можем написать уравнение:
\[AB^2 + BC^2 = AC^2.\]

Подставим известные значения:
\[(6\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = AC^2,\]
\[72 + 8 = AC^2,\]
\[80 = AC^2.\]

Чтобы найти длину стороны AC, возьмем квадратный корень от обоих частей уравнения:
\[AC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ см}.\]

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника: AB = \(6\sqrt{2}\) см, BC = \(2\sqrt{2}\) см и AC = \(4\sqrt{5}\) см.

Осталось только найти площадь треугольника ABC. Мы можем использовать формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\]

где a, b и c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

Для треугольника ABC, длины сторон которого мы уже нашли, площадь будет:
\[S = \sqrt{\left(\frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{5} - 6\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{2}\right)},\]
\[S = \sqrt{\frac{12\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 8\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{12\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{12\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{-4\sqrt{5}}{2}},\]
\[S = \sqrt{\frac{(16 + 16\sqrt{2})\cdot(2\sqrt{10})\cdot(2\sqrt{2})\cdot(-2\sqrt{5})}{16}},\]
\[S = \sqrt{8\sqrt{10}\cdot 4\sqrt{2}\cdot -2\sqrt{5}},\]
\[S = \sqrt{-64\sqrt{2}\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}},\]
\[S = \sqrt{-320\sqrt{5}}.\]

Теперь мы можем использовать найденные значения длин сторон треугольника и площади, чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, с помощью формулы:

\[R = \frac{abc}{4S}.\]

Подставим значения:
\[R = \frac{(6\sqrt{2})(2\sqrt{2})(4\sqrt{5})}{4\sqrt{-320\sqrt{5}}}.\]

Здесь мы сталкиваемся с проблемой. Дискриминант в знаменателе под корнем отрицательный, поэтому нет реального значения радиуса, описанного вокруг этого треугольника.

Таким образом, мы не можем найти реальную длину радиуса окружности, описанной вокруг треугольника ABC, при условии, что сторона AB равна \(6\sqrt{2}\) см, а cos∠C равен 1/3.