Какова площадь трапеции ABCD, представленной на рисунке 41 (значения длин указаны в сантиметрах)? Рис. 41 C 8 6

Решение задачи требует вычисления площади трапеции ABCD. Для этого мы можем использовать формулу для площади трапеции, которая определяется как половина произведения суммы ее оснований на ее высоту.

В данной задаче, основания трапеции имеют длины AC и BD, а высота равна расстоянию между основаниями.

Для начала, давайте определим длину оснований AC и BD. Из рисунка видно, что AC равна 8 сантиметрам, а BD равна 6√3 сантиметров.

Теперь мы должны вычислить длину высоты, которая является расстоянием между основаниями. Для этого можно использовать теорему Пифагора, так как мы знаем длину боковой стороны и высоту треугольника.

Найдем длину боковой стороны AD, используя тригонометрическую функцию синуса. Из рисунка видно, что угол A равен 45°, а AD равна 6 сантиметрам. Применим формулу: \(\sin(45^\circ) = \frac{{AD}}{{AC}}\) и найдем значение AD.

\(\sin(45^\circ) = \frac{{AD}}{{8}}\) (Здесь я использовал значение AC, которое равно 8.)
\(AD = 8 \cdot \sin(45^\circ)\)
\(AD = 8 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\)
\(AD = 4\sqrt{2}\) см.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ACD с гипотенузой 6√3 и катетами 6 и AD, мы получаем:

\((6\sqrt{3})^2 = 6^2 + (AD)^2\)
\(108 = 36 + (AD)^2\)
\((AD)^2 = 72\)
\(AD = \sqrt{72}\)
\(AD = 6\sqrt{2}\) см.

Теперь у нас есть значение высоты треугольника, и мы можем вычислить площадь трапеции. Подставим известные значения в формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{{(AC + BD) \cdot h}}{2}\]
\[S = \frac{{(8 + 6\sqrt{3}) \cdot 6\sqrt{2}}}{2}\]
\[S = 6\sqrt{2} \cdot (4 + 3\sqrt{3})\]
\[S = 24\sqrt{2} + 18\sqrt{6}\]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна \(24\sqrt{2} + 18\sqrt{6}\) квадратных сантиметров.