Какова площадь сферы с диаметром 7√2 см, если плоскость проходит через конец диаметра под углом и расстояние от центра

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать некоторые геометрические свойства сферы.
Для начала, найдем радиус сферы. Радиус сферы можно найти, разделив диаметр на 2. В данном случае, диаметр равен 7√2 см, поэтому радиус будет равен \(r = \frac{7\sqrt{2}}{2}\) см.

Затем, мы можем найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника АВС. Поскольку треугольник АВС — равносторонний треугольник, его высота делит основание на две равные части. Расстояние от центра сферы до основания треугольника равно половине высоты треугольника. Так как высота равностороннего треугольника равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) сторон треугольника, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника АВС составляет \(d = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2}\) см.

Далее, мы можем использовать формулу для площади поверхности сферы. Площадь поверхности сферы можно найти с помощью формулы \(S = 4\pi r^2\), где \(r\) — радиус сферы.

Подставляя значение радиуса, получим: \(S = 4\pi \left(\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)^2\) см².

Упрощая, получаем: \(S = 4\pi \cdot \frac{49 \cdot 2}{4}\) см².

Далее, упрощаем выражение и вычисляем: \(S = 2\pi \cdot 49\) см².

Окончательно, мы можем вычислить площадь поверхности сферы: \(S = 98\pi\) см².

Таким образом, площадь сферы с данной характеристикой равна \(98\pi\) квадратных сантиметров.