Какова площадь сферы, которая касается всех сторон прямоугольного треугольника с катетами, равными 8 см и 15 см

Для решения данной задачи, нужно воспользоваться свойством описанной окружности прямоугольного треугольника.

Описанная окружность прямоугольного треугольника является окружностью, которая проходит через все вершины треугольника. По свойству описанной окружности, радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Сначала найдём длину гипотенузы треугольника, используя теорему Пифагора. По теореме Пифагора:

\[
\text{{гипотенуза}}^2 = \text{{катет1}}^2 + \text{{катет2}}^2
\]

Подставляем значения катетов:

\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 8^2 + 15^2
\]

\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 64 + 225
\]

\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 289
\]

Извлекаем корень из обеих сторон уравнения:

\[
\text{{гипотенуза}} = \sqrt{289}
\]

\[
\text{{гипотенуза}} = 17
\]

Теперь, чтобы найти радиус описанной окружности, нужно разделить длину гипотенузы на 2:

\[
\text{{радиус}} = \frac{{\text{{гипотенуза}}}}{2} = \frac{{17}}{2} = 8.5
\]

Таким образом, радиус описанной окружности равен 8.5 см.

Теперь, чтобы найти площадь сферы, которая касается всех сторон прямоугольного треугольника, нужно воспользоваться формулой для площади поверхности сферы:

\[
\text{{площадь}} = 4\pi \times \text{{радиус}}^2
\]

Подставляем значение радиуса:

\[
\text{{площадь}} = 4\pi \times 8.5^2
\]

\[
\text{{площадь}} = 4\pi \times 72.25
\]

\[
\text{{площадь}} \approx 287.01 \pi \, \text{{см}}^2
\]

Таким образом, площадь сферы, которая касается всех сторон прямоугольного треугольника с катетами 8 см и 15 см, а её центр отстоит от плоскости треугольника на 8.5 см, примерно равна \( 287.01 \pi \) квадратных сантиметров.