1. What is the sum and product of the roots of the equation: a) x^2 - 17x + 60 = 0; b) x^2 + 3x - 40 = 0; c) 5x^2

Добро пожаловать! Давайте начнем с решения задач.

1. Рассмотрим каждую задачу по порядку:
a) Уравнение: \(x^2 - 17x + 60 = 0\)
Чтобы найти сумму корней, нам понадобится формула суммы корней квадратного уравнения: \(-\frac{b}{a}\). В нашем случае, \(a = 1\) и \(b = -17\), поэтому сумма корней будет равна \(\frac{17}{1} = 17\).
Чтобы найти произведение корней, нам понадобится формула произведения корней квадратного уравнения: \(\frac{c}{a}\). В нашем случае, \(a = 1\) и \(c = 60\), поэтому произведение корней будет равно \(\frac{60}{1} = 60\).

b) Уравнение: \(x^2 + 3x - 40 = 0\)
С помощью формулы суммы и произведения корней, найдем сумму и произведение. Мы находим \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -40\).
Сумма корней: \(-\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3\).
Произведение корней: \(\frac{c}{a} = \frac{-40}{1} = -40\).

c) Уравнение: \(5x^2 + x - 3 = 0\)
С помощью формулы суммы и произведения корней, найдем сумму и произведение. Мы находим \(a = 5\), \(b = 1\), \(c = -3\).
Сумма корней: \(-\frac{b}{a} = -\frac{1}{5}\).
Произведение корней: \(\frac{c}{a} = \frac{-3}{5}\).

d) Уравнение: \(4x^2 - 5x = 0\)
Заметим, что это квадратное уравнение уже приведено к каноническому виду, где \(c = 0\). Это означает, что один из корней будет равен 0, а второй корень можно найти из уравнения \(4x^2 - 5x = 0\).
Вынесем \(x\):
\(x(4x - 5) = 0\)
Из этого уравнения получаем два возможных корня: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{5}{4}\).

2. Мы знаем, что для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\), у нас есть следующие формулы, связывающие коэффициенты и корни:
Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

Подставим известные значения \(x_1 = -1\) и \(x_2^2 = 3\) в эти формулы:
Сумма корней: \(-1 + \sqrt{3} = -\frac{b}{a}\)
Произведение корней: \(-1 \cdot \sqrt{3} = \frac{c}{a}\)

Учитывая, что \(x_2^2 = 3\), решим уравнение для нахождения \(x_2\):
\(x_2 = \sqrt{3}\)

Теперь мы знаем, что сумма корней равна \(-1 + \sqrt{3}\), а произведение корней равно \(-\sqrt{3}\).

3. У нас есть квадратное уравнение \(7x^2 - 11x - 6 = 0\), и один из его корней равен 2. Чтобы найти второй корень, мы можем использовать факт о сумме и произведении корней. Известно, что сумма корней равна: \(x_1 + x_2 = \frac{11}{7}\). Также сумма корней равна 2 плюс второй корень. Поэтому мы можем записать уравнение:
\(2 + x_2 = \frac{11}{7}\).

Решая это уравнение, мы получаем \(x_2 = \frac{11}{7} - 2 = -\frac{3}{7}\).
Таким образом, второй корень равен \(-\frac{3}{7}\).

4. Чтобы определить знаки корней уравнений без их решения, мы можем использовать факт, что при умножении числа на положительное число знак остается тот же самый, при умножении числа на отрицательное число знак меняется.

a) Уравнение: \(x^2 - 13x - 11 = 0\)
Заметим, что коэффициент \(a\) положительный, значит, оба корня этого уравнения будут иметь одинаковый знак, и этот знак будет быть отрицательным.

b) Уравнение: \(by^2 + 17y - 93 = 0\)
Здесь мы видим, что коэффициент \(b\) отрицательный, поэтому знаки корней будут противоположными. Один корень будет положительным, а другой - отрицательным.

c) Уравнение: \(3x^2 - v3x - 3y^2 = 0\)
Здесь у нас есть две переменные \(x\) и \(y\). Мы не можем определить знаки корней без дополнительных сведений.

5. Чтобы найти корни уравнений, опробуем различные значения и найдем те, для которых уравнение будет выполняться.

a) Уравнение: \(y - by - 6 = 0\)
Заметим, что у нас есть две переменные \(y\) и \(b\). Если мы хотим использовать значение для \(b\), нам нужны дополнительные сведения.

b) Уравнение: \(c^2 - 8c\)
Здесь у нас есть одна переменная \(c\). Если мы положим \(c = 0\), то у нас будет \(0^2 - 8 \cdot 0 = 0\), значит, \(c = 0\) является одним из корней уравнения.

Обратите внимание, что в некоторых задачах нам не хватило информации или нам нужна дополнительная информация для полного решения.