Какова площадь сегмента сектора, если радиус окружности составляет 7 дм, а длина хорды, образованной этой дугой

Для решения данной задачи нам потребуется некоторое количество математических знаний и формул.

Площадь сегмента сектора может быть найдена с использованием формулы площади кругового сектора и площади треугольника:

1. Найдем площадь кругового сектора. Формула для вычисления площади кругового сектора задается следующим образом:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{{n \cdot r^2 \cdot \alpha}}{360^\circ} \],

где \( S_{\text{сектора}} \) - площадь сектора, \( n \) - площадь круга (\( \pi \cdot r^2 \)), \( r \) - радиус окружности, а \( \alpha \) - центральный угол сектора (в градусах).

2. Найдем площадь треугольника. Формула для вычисления площади треугольника определяется как:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \],

где \( S_{\text{треугольника}} \) - площадь треугольника, \( a \) - длина основания треугольника (хорды), а \( h \) - высота треугольника (перпендикуляр, опущенный от вершины треугольника к основанию).

3. Итак, чтобы найти площадь сегмента сектора, мы будем вычитать площадь треугольника из площади кругового сектора:

\[ S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} \].

Теперь приступим к вычислениям.

1. Найдем площадь кругового сектора:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{{\pi \cdot r^2 \cdot \alpha}}{360^\circ} = \frac{{\pi \cdot 7^2 \cdot \alpha}}{360^\circ} = \frac{{49\pi \cdot \alpha}}{360^\circ} \].

2. Найдем длину хорды, образованной дугой сектора. У нас дано, что длина хорды меньше 180 градусов, значит, угол между радиусами, опирающимися на хорду, также меньше 180 градусов. Обозначим этот угол как \( \beta \). Тогда:

\[ \beta = \frac{{\alpha}}{2} \].

Длина хорды вычисляется по формуле:

\[ c = 2 \cdot r \cdot \sin(\beta) = 2 \cdot 7 \cdot \sin\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \].

3. Найдем высоту треугольника, опущенную на основание хорды. Для этого воспользуемся формулой:

\[ h = r \cdot \cos(\beta) = 7 \cdot \cos\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \].

4. Подставим полученные значения в формулу для площади треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \sin\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \cdot 7 \cdot \cos\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) = 7^2 \cdot \sin\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \].

5. Наконец, найдем площадь сегмента сектора, вычитая площадь треугольника из площади сектора:

\[ S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} = \frac{{49\pi \cdot \alpha}}{360^\circ} - 7^2 \cdot \sin\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \].

Это детальное решение, которое поможет школьнику понять, как получить искомую площадь сегмента сектора при заданных условиях радиуса окружности и длины хорды.