Какова площадь ромба с высотой 15 см и острым углом в 30 градусов?

Конечно! Чтобы определить площадь ромба, нужно знать длину одной из его диагоналей и высоту. В данной задаче нам уже дана высота равная 15 см. Однако, нам не дана длина диагонали.

Чтобы найти длину диагонали, можно воспользоваться свойством ромба. В ромбе все стороны равны между собой, а углы противолежащих вершин равны. Таким образом, если одна из сторон ромба равна 15 см, этот отрезок будет основанием, а высота ромба будет одной из его высот. Мы знаем, что ромб имеет острый угол в 30 градусов. Такой угол находится против этой стороны.

Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длину диагонали. Нам известны два из трех элементов прямоугольного треугольника: один из катетов равен 15 см (высота ромба), а гипотенуза равна длине диагонали.

Таким образом, используя теорему Пифагора, получим:

\[\text{длина диагонали}^2 = \text{высота}^2 + \text{основание}^2\]
\[\text{длина диагонали}^2 = 15^2 + x^2\]
\[\text{длина диагонали} = \sqrt{225 + x^2}\]

Поскольку у нас есть острый угол в 30 градусов, мы знаем, что соответствующий косинус этого угла равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе. То есть:

\[\cos(30^\circ) = \frac{\text{высота}}{\text{диагональ}}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[\frac{15}{\sqrt{225 + x^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Чтобы найти длину диагонали \(x\), необходимо решить эту уравнение относительно \(x\). Умножим обе стороны на \(\sqrt{225 + x^2}\) и решим полученное уравнение:

\[15 = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{225 + x^2}\]

\[15 \cdot 2 = \sqrt{3}\sqrt{225 + x^2}\]

\[30 = \sqrt{3(225 + x^2)}\]

\[30^2 = 3(225 + x^2)\]

\[900 = 675 + 3x^2\]

\[3x^2 = 900 - 675\]

\[3x^2 = 225\]

\[x^2 = 75\]

\[x = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\]

Теперь, когда мы знаем длину диагонали, можем найти площадь ромба.

Формула для площади ромба: \(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\), где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

Подставляя исходные данные, получаем:

\[S = \frac{15 \cdot 5\sqrt{3}}{2}\]
\[S = \frac{75\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, площадь ромба с высотой 15 см и острым углом в 30 градусов равна \(\frac{75\sqrt{3}}{2}\) (квадратные сантиметры).