Какова площадь ромба, если его периметр равен 36 и один из его углов составляет 30 градусов?

Чтобы найти площадь ромба, нам нужно знать его диагонали или длину стороны. Однако в условии задачи дан периметр ромба.

Давайте разберемся с геометрией ромба. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны между собой. Углы ромба также равны друг другу. Все диагонали ромба пересекаются в прямом углу.

Теперь, для решения задачи, мы можем воспользоваться следующими формулами:

1. Периметр ромба равен сумме всех его сторон:
\(P = 4a\), где \(P\) - периметр, а \(a\) - длина стороны ромба.

2. Формула для периметра ромба, выраженного через диагонали:
\(P = 2d_1 + 2d_2\), где \(P\) - периметр, а \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей.

3. Формула для площади ромба, выраженной через его сторону и угол:
\(S = a^2 \cdot \sin(\theta)\), где \(S\) - площадь, \(a\) - длина стороны ромба, а \(\theta\) - один из углов ромба (в радианах).

Мы знаем, что периметр ромба равен 36, поэтому по первой формуле получаем:
\(36 = 4a\). Делим обе части уравнения на 4: \(a = 9\).

Теперь у нас есть длина стороны ромба \(a = 9\). Мы также знаем, что один из углов ромба составляет 30 градусов.

Чтобы вычислить площадь ромба, воспользуемся третьей формулой:
\(S = a^2 \cdot \sin(\theta)\).

Подставляем значения:
\(S = 9^2 \cdot \sin(30^\circ)\).

Переводим угол из градусов в радианы: \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\) радиан.

\(S = 81 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\).

Вычисляем синус \(\frac{\pi}{6}\), который равен \(\frac{1}{2}\):
\(S = 81 \cdot \frac{1}{2} = 40.5\).

Таким образом, площадь ромба равна 40.5 квадратных единиц (например, квадратных сантиметров).