Какова площадь равнобедренной трапеции, у которой диагональ равна 10, а острый угол составляет 45°?

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, у которой диагональ равна 10, а острый угол составляет 45°, мы можем использовать формулу для площади трапеции. Формула для площади трапеции выглядит следующим образом:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

Где:
- \(S\) - площадь трапеции,
- \(a\) и \(b\) - основания трапеции,
- \(h\) - высота трапеции.

Зная, что в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, обозначим эти стороны как \(c\). Зная, что диагональ равна 10, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения \(c\):

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Так как в нашем случае трапеция равнобедренная, \(a = b\). Используя это свойство, мы можем переписать формулу для \(c\):

\[c^2 = 2a^2\]

Теперь нам нужно найти значения \(a\), \(b\), и \(h\) с помощью полученных данных. Мы знаем, что угол в трапеции равен 45°, что соответствует острому углу. Это означает, что противоположная сторона равна \(a\) и \(b\) в нашем случае. Также, мы можем приравнять \(c\) к \(a\) и \(b\), так как они равны.

Используя треугольник с углом 45° и гипотенузой 10, мы можем применить тригонометрические функции, чтобы найти значения сторон \(a\), \(b\), и высоты \(h\).

Таким образом, решение будет следующим:

1. Найдем длину стороны \(a\) с помощью тригонометрии:
\[a = c = \frac{{10}}{\sqrt{2}}\]

2. Так как трапеция равнобедренная, \(a = b\). Поэтому, \(b = \frac{{10}}{\sqrt{2}}\).

3. Высота трапеции равна \(h = a \cdot \sin(45^\circ)\). Подставим значение \(a\):
\[h = \frac{{10}}{\sqrt{2}} \cdot \sin(45^\circ)\]

4. Найдем площадь \(S\) с помощью формулы для площади трапеции:
\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

Подставим известные значения \(a\), \(b\), и \(h\) в формулу и получим окончательный ответ.