Какова площадь равнобедренной трапеции, у которой диагональ равна 10, а острый угол составляет 45°?

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, у которой диагональ равна 10, а острый угол составляет 45°, мы можем использовать формулу для площади трапеции. Формула для площади трапеции выглядит следующим образом:

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Где:
- $S$ - площадь трапеции,
- $a$ и $b$ - основания трапеции,
- $h$ - высота трапеции.

Зная, что в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, обозначим эти стороны как $c$. Зная, что диагональ равна 10, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения $c$:

$$c^2=a^2+b^2$$

Так как в нашем случае трапеция равнобедренная, $a=b$. Используя это свойство, мы можем переписать формулу для $c$:

$$c^2=2a^2$$

Теперь нам нужно найти значения $a$, $b$, и $h$ с помощью полученных данных. Мы знаем, что угол в трапеции равен 45°, что соответствует острому углу. Это означает, что противоположная сторона равна $a$ и $b$ в нашем случае. Также, мы можем приравнять $c$ к $a$ и $b$, так как они равны.

Используя треугольник с углом 45° и гипотенузой 10, мы можем применить тригонометрические функции, чтобы найти значения сторон $a$, $b$, и высоты $h$.

Таким образом, решение будет следующим:

1. Найдем длину стороны $a$ с помощью тригонометрии:
$$a=c=\frac{10}{\sqrt{2}}$$

2. Так как трапеция равнобедренная, $a=b$. Поэтому, $b=\frac{10}{\sqrt{2}}$.

3. Высота трапеции равна $h=a\cdot \sin ({45}^{\circ })$. Подставим значение $a$:
$$h=\frac{10}{\sqrt{2}}\cdot \sin ({45}^{\circ })$$

4. Найдем площадь $S$ с помощью формулы для площади трапеции:
$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Подставим известные значения $a$, $b$, и $h$ в формулу и получим окончательный ответ.