Какова площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 15 и 39, а боковые стороны равны 20 (см. рис. 169)?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади трапеции. Площадь равнобедренной трапеции можно найти, используя следующую формулу:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h, \]

где \( S \) - площадь трапеции, \( a \) и \( b \) - длины оснований, а \( h \) - высота трапеции.

В данной задаче известны длины оснований \( a = 15 \) см и \( b = 39 \) см, а также известна длина боковой стороны \( c = 20 \) см. Чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо найти высоту \( h \).

На рисунке 169 изображена равнобедренная трапеция. Обозначим точки пересечения оснований с боковыми сторонами как точки \( P \) и \( Q \). Поскольку трапеция равнобедренная, то сторона треугольника \( PQ \) равна стороне треугольника \( PR \).

Таким образом, у нас имеется равнобедренный треугольник \( PQR \) с основанием \( PQ \), равным 20 см, и боковыми сторонами \( PR \) и \( QR \), равными 15 см и 39 см соответственно.

Используя теорему Пифагора для треугольника \( PQR \), мы можем найти длину высоты \( PH \) следующим образом:

\[ PH = \sqrt{PR^2 - QH^2}. \]

Теперь мы можем найти высоту трапеции, зная сторону треугольника \( PQ \) и найденную длину высоты \( PH \):

\[ h = PQ - 2 \cdot PH. \]

Подставив известные значения, найдем длину высоты:

\[ h = 20 - 2 \cdot \sqrt{15^2 - \left(\frac{39}{2}\right)^2}. \]

Теперь, когда вычислили высоту, мы можем найти площадь равнобедренной трапеции, подставив известные значения в формулу для площади:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h. \]

Вычислив данное выражение, мы найдем площадь равнобедренной трапеции.